Матэматычны маятнік: перыяд, паскарэнне і формулы

Механічная сістэма, якая складаецца з матэрыяльнай кропкі (цела), якая вісіць на нерастяжимой бязважкай ніткі (яе маса нікчэмна малая ў параўнанні з вагай цела) ў аднастайным поле цяжару, называецца матэматычным маятнікам (іншая назва - асцылятар). Бываюць і іншыя віды гэтага прылады. Замест ніткі можа быць выкарыстаны бязважкі стрыжань. Матэматычны маятнік можа наглядна раскрыць сутнасць многіх цікавых з'яў. Пры малой амплітудзе ваганні яго рух называецца гарманічным.

Агульныя звесткі аб механічнай сістэме

Формула перыяду ваганні гэтага маятніка была выведзена галандскім навукоўцам Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Гэты сучаснік І. Ньютана вельмі захапляўся дадзенай механічнай сістэмай. У 1656 годзе ён стварыў першыя гадзіны з маятнікавай механізмам. Яны вымяралі час з выключнай для тых часоў дакладнасцю. Гэта вынаходніцтва стала найважнейшым этапам у развіцці фізічных эксперыментаў і практычнай дзейнасці.

Калі ківач знаходзіцца ў становішчы раўнавагі (вісіць строма), то сіла цяжару будзе ўраўнаважвацца сілай нацяжэння ніткі. Плоскі ківач на нерастяжимой ніткі з'яўляецца сістэмай з двума ступенямі волі са сувяззю. Пры змене ўсяго аднаго кампанента мяняюцца характарыстыкі ўсіх яе частак. Так, калі нітку замяніць на стрыжань, то ў дадзенай механічнай сістэмы будзе ўсяго 1 ступень свабоды. Якімі ж ўласцівасцямі валодае матэматычны маятнік? У гэтай найпростай сістэме пад уздзеяннем перыядычнага абурэння ўзнікае хаос. У тым выпадку, калі кропка подвеса не рухаецца, а здзяйсняе ваганні, у ківача з'яўляецца новае становішча раўнавагі. Пры хуткіх ваганнях уверх-уніз гэтая механічная сістэма набывае ўстойлівае становішча «дагары нагамі». У яе ёсць і сваю назву. Яе называюць маятнікам Капіцы.

ўласцівасці ківача

Матэматычны маятнік мае вельмі цікавыя ўласцівасці. Усе яны пацвярджаюцца вядомымі фізічнымі законамі. Перыяд ваганняў любога іншага ківача залежыць ад розных абставінаў, такіх як памер і форма цела, адлегласць паміж кропкай подвеса і цэнтрам цяжару, размеркаванне масы адносна дадзенай кропкі. Менавіта таму вызначэнне перыяду які вісіць цела з'яўляецца даволі складанай задачай. Нашмат лягчэй вылічаецца перыяд матэматычнага маятніка, формула якога будзе прыведзена ніжэй. У выніку назіранняў над падобнымі механічнымі сістэмамі можна ўсталяваць такія заканамернасці:

• Калі, захоўваючы аднолькавую даўжыню ківача, падвешваць розныя грузы, то перыяд іх ваганняў атрымаецца аднолькавым, хоць іх масы будуць моцна адрознівацца. Такім чынам, перыяд такога ківача не залежыць ад масы грузу.

• Калі пры запуску сістэмы адхіляць ківач на не занадта вялікія, але розныя куты, то ён стане вагацца з аднолькавым перыядам, але па розных амплітуд. Пакуль адхіленні ад цэнтра раўнавагі не надта вялікія, ваганні па сваёй форме будуць досыць блізкія гарманічным. Перыяд такога ківача ніяк не залежыць ад вагальнай амплітуды. Гэта ўласцівасць дадзенай механічнай сістэмы называецца изохронизмом (у перакладзе з грэцкага «Хронаса» - час, «изос» - роўны).

Перыяд матэматычнага маятніка

Гэты паказчык ўяўляе сабой перыяд уласных ваганняў. Нягледзячы на складаную фармулёўку, сам працэс вельмі просты. Калі даўжыня ніткі матэматычнага маятніка L, а паскарэнне вольнага падзення g, то гэтая велічыня роўная:

T = 2π√L / g

Перыяд малых уласных ваганняў ні ў якой меры не залежыць ад масы маятніка і амплітуды ваганняў. У гэтым выпадку ківач рухаецца як матэматычны з прыведзенай даўжынёй.

Ваганні матэматычнага маятніка

Матэматычны маятнік здзяйсняе ваганні, якія можна апісаць простым дыферэнцыяльным раўнаннем:

x + ω2 sin x = 0,

дзе х (t) - невядомая функцыя (гэта кут адхіленні ад ніжняга становішча раўнавагі ў момант t, выражаны ў радыянах); ω - станоўчая канстанта, якая вызначаецца з параметраў ківача (ω = √g / L, дзе g - гэта паскарэнне вольнага падзення, а L - даўжыня матэматычнага маятніка (подвес).

Раўнанне малых ваганняў паблізу палажэнняў раўнавагі (гарманічнае раўнанне) выглядае так:

x + ω2 sin x = 0

Вагальныя руху ківача

Матэматычны маятнік, які здзяйсняе малыя ваганні, рухаецца па сінусоідзе. Дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку адказвае ўсім патрабаванням і параметрах такога руху. Для вызначэння траекторыі неабходна задаць хуткасць і каардынату, з якіх потым вызначаюцца незалежныя канстанты:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

дзе θ ₀ - пачатковая фаза, A - амплітуда ваганні, ω - цыклічная частата, вызначаная з раўнання руху.

Матэматычны маятнік (формулы для вялікіх амплітуд)

Дадзеная механічная сістэма, здзяйснялі свае ваганні са значнай амплітудай, падпарадкоўваецца больш складаным законам руху. Для такога ківача яны разлічваюцца па формуле:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

дзе sn - сінус Якобі, які для u <1 з'яўляецца перыядычным функцыяй, а пры малых u ён супадае з простым трыганаметрычных сінусам. Значэнне u вызначаюць наступным выразам:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

дзе ε = E / mL2 (mL2 - энергія ківача).

Вызначэнне перыяду ваганні нелінейнага ківача ажыццяўляецца па формуле:

T = 2π / Ω,

дзе Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - эліптычны інтэграл, π - 3,14.

Рух ківача па сепаратрисе

Сепаратрисой называюць траекторыю дынамічнай сістэмы, у якой двухмернае фазавае прастору. Матэматычны маятнік рухаецца па ёй неперыядычныя. У бясконца далёкім моманце часу ён падае з крайняга верхняга становішча ў бок з нулявой хуткасцю, затым паступова набірае яе. У канчатковым выніку ён спыняецца, вярнуўшыся ў зыходнае становішча.

Калі амплітуда ваганняў ківача набліжаецца да ліку π, гэта кажа пра тое, што рух на фазавай плоскасці набліжаецца да сепаратрисе. У гэтым выпадку пад дзеяннем малой якая змушае перыядычным сілы механічная сістэма праяўляе хаатычны паводзіны.

Пры адхіленні матэматычнага маятніка ад становішча раўнавагі з некаторым вуглом φ ўзнікае датычная сілы цяжару Fτ = -mg sin φ. Знак «мінус» азначае, што гэтая датычная складнік накіроўваецца ў процілеглы ад адхіленні ківача бок. Пры абазначэнні праз x зрушэння ківача па дузе акружнасці з радыусам L яго кутняе зрушэнне раўняецца φ = x / L. Другі закон Ісаака Ньютана, прызначаны для праекцый вектара паскарэння і сілы, дасць шуканае значэнне:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Зыходзячы з гэтага суадносіны, відаць, што гэты маятнік уяўляе сабой нелінейную сістэму, паколькі сіла, якая імкнецца вярнуць яго ў становішча раўнавагі, заўсёды прапарцыйная ня зрушэнню x, а sin x / L.

Толькі тады, калі матэматычны маятнік ажыццяўляе малыя ваганні, ён з'яўляецца гарманічным асцылятар. Іншымі словамі, ён становіцца механічнай сістэмай, здольнай выконваць гарманічныя ваганні. Такое набліжэнне практычна справядліва для кутоў у 15-20 °. Ваганні ківача з вялікімі амплітуда не з'яўляецца гарманічным.

Закон Ньютана для малых ваганняў ківача

Калі дадзеная механічная сістэма выконвае малыя ваганні, 2-й закон Ньютана будзе выглядаць такім чынам:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Зыходзячы з гэтага, можна зрабіць выснову, што Тангенцыйная паскарэнне матэматычнага маятніка прапарцыйна яго зрушэнню са знакам «мінус». Гэта і з'яўляецца умовай, дзякуючы якому сістэма становіцца гарманічным асцылятар. Модуль каэфіцыента прапарцыйнасці паміж зрушэннем і паскарэннем раўняецца квадрату кругавой частоты:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Гэтая формула адлюстроўвае ўласную частату малых ваганняў гэтага віду ківача. Зыходзячы з гэтага,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Вылічэнні на аснове закону захавання энергіі

Ўласцівасці вагальных рухаў ківача можна апісаць і пры дапамозе закону захавання энергіі. Пры гэтым варта ўлічваць, што патэнцыйная энергія ківача ў полі цяжару раўняецца:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Поўная механічная энергія раўняецца кінэтычнай або максімальнай патэнцыйнай: Epmax = Ekmsx = E

Пасля таго як будзе запісаны закон захавання энергіі, бяруць вытворную ад правай і левай частак ўраўненні:

Ep + Ek = const

Паколькі вытворная ад пастаянных велічынь раўняецца 0, то (Ep + Ek) '= 0. Вытворная сумы складае суме вытворных:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

такім чынам:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Зыходзячы з апошняй формулы знаходзім: α = - g / L * x.

Практычнае прымяненне матэматычнага маятніка

Паскарэнне вольнага падзення змяняецца з геаграфічнай шыратой, паколькі шчыльнасць зямной кары па ўсёй планеце не аднолькавая. Там, дзе залягаюць пароды з большай шчыльнасцю, яно будзе крыху вышэйшая. Паскарэнне матэматычнага маятніка нярэдка ўжываюць для геолагаразведкі. У яго дапамогай шукаюць розныя карысныя выкапні. Проста падлічыўшы колькасць ваганняў ківача, можна выявіць у нетрах Зямлі каменны вугаль або руду. Гэта звязана з тым, што такія выкапні маюць шчыльнасць і масу больш, чым якія ляжаць пад імі друзлыя горныя пароды.

Матэматычным маятнікам карысталіся такія выбітныя навукоўцы, як Сакрат, Арыстоцель, Платон, Плутарх, Архімед. Многія з іх верылі ў тое, што гэтая механічная сістэма можа ўплываць на лёс і жыццё чалавека. Архімед выкарыстаў матэматычны маятнік пры сваіх вылічэннях. У наш час многія акультысты і экстрасэнсы карыстаюцца гэтай механічнай сістэмай для ажыццяўлення сваіх прароцтваў ці пошуку зніклых людзей.

Вядомы французскі астраном і прыродазнавец К. Фламмарион для сваіх даследаванняў таксама выкарыстаў матэматычны маятнік. Ён сцвярджаў, што з яго дапамогай яму ўдалося прадказаць адкрыццё новай планеты, з'яўленне Тунгускага метэарыта і іншыя важныя падзеі. Падчас Другой сусветнай вайны ў Нямеччыне (г. Берлін) працаваў спецыялізаваны Інстытут ківача. У нашы дні падобнымі даследаваннямі заняты Мюнхенскі інстытут парапсіхалогіі. Сваю працу з маятнікам супрацоўнікі гэтай установы называюць «радиэстезией».