Раўналежнасць плоскасцяў: ўмова і ўласцівасці

Раўналежнасць плоскасцяў з'яўляецца паняццем, упершыню якія з'явіліся ў Эўклідавай геаметрыі больш за дзве тысячы гадоў таму.

Асноўныя характарыстыкі класічнай геаметрыі

Нараджэнне гэтай навуковай дысцыпліны звязана з найвядомым цяжкасцю старажытнагрэцкага мысляра Эўкліда, які напісаў у трэцім стагоддзі да нашай эры памфлет «Пачала». Падзеленыя на трынаццаць кніг, «Пачала» з'яўляліся вышэйшым дасягненнем усёй антычнай матэматыкі і выкладалі фундаментальныя пастулаты, звязаныя са ўласцівасцямі плоскіх фігур.

Класічная ўмова паралельнасці плоскасцей было сфармулявана наступным чынам: дзве плоскасці могуць назвацца паралельнымі, калі яны паміж сабой не маюць агульных кропак. Пра гэта абвяшчаў пяты пастулат Эўклідавай працы.

Ўласцівасці паралельных плоскасцей

У Эўклідавай геаметрыі іх вылучаюць, як правіла, пяць:

• Ўласцівасць першае (апісвае раўналежнасць плоскасцяў і іх адзінасць). Праз адну кропку, якая ляжыць па-за канкрэтнай дадзенай плоскасці, мы можам правесці адну і толькі адну паралельную ёй плоскасць

• Ўласцівасць другое (таксама мае назву ўласцівасці трох паралельнае). У тым выпадку, калі дзве плоскасці з'яўляюцца паралельнымі ў адносінах да трэцяй, паміж сабой яны таксама раўналежныя.

• Ўласцівасць трэцяе (іншымі словамі яно называецца уласцівасцю прамой, якая перасякае раўналежнасць плоскасцяў). Калі асобна ўзятая прамая лінія перасякае адну з гэтых паралельных плоскасцей, то яна перасячэ і іншую.

• Ўласцівасць чацвёртае (ўласцівасць прамых ліній, высечаных на плоскасцях, паралельных адзін аднаму). Калі дзве паралельныя плоскасці перасякаюцца трэцяй (пад любым вуглом), лініі іх перасячэння таксама з'яўляюцца паралельнымі

• Ўласцівасць пятае (ўласцівасць, якое апісвае адрэзкі розных паралельных прамых, якія заключаны паміж плоскасцямі, паралельнымі адзін аднаму). Адрэзкі тых паралельных прамых, якія заключаны паміж двума паралельнымі плоскасцямі, абавязкова роўныя.

Раўналежнасць плоскасцей у неэвклидовых геаметрыі

Такімі падыходамі з'яўляюцца ў прыватнасцi геаметрыя Лабачэўскага і Рымана. Калі геаметрыя Эўкліда рэалізоўвалася на плоскіх прасторах, то ў Лабачэўскага ў адмоўна скрыўленых прасторах (выгінастых папросту кажучы), а ў Рымана яна здабывае сваю рэалізацыю ў станоўча скрыўленых прасторах (іншымі словамі - сферах). Існуе вельмі распаўсюджаная стэрэатыпнае меркаванне, што ў Лабачэўскага паралельныя плоскасці (і лініі таксама) перасякаюцца. Але хіба ж гэта. Сапраўды нараджэнне гіпербалічнай геаметрыі было звязана з доказам пятага пастулату Эўкліда і змяненнем поглядаў на яго, аднак само вызначэнне паралельных плоскасцей і прамых мае на ўвазе, што яны не могуць перасекчыся ні ў Лабачэўскага, ні ў Рымана, у якіх бы прасторах яны ні рэалізоўваліся. А змена поглядаў і фармулёвак заключалася ў наступным. На змену пастулату аб тым, што толькі адну паралельную плоскасць можна правесці праз кропку, ня якая ляжыць на дадзенай плоскасці, прыйшла іншая фармулёўка: праз кропку, якая не ляжыць на дадзенай канкрэтнай плоскасці, могуць праходзіць дзве, па меншай меры, прамыя, якія ляжаць у адной плоскасці з дадзенай і не перасякаюць яе.