Раўнанне - што такое? Вызначэнне тэрміна, прыклады

У курсе школьнай матэматыкі, дзіця ўпершыню чуе тэрмін "раўнанне". Што такое гэта, паспрабуем разабрацца разам. У дадзеным артыкуле разгледзім віды і спосабы рашэння.

Матэматыка. ўраўненні

Для пачатку прапануем разабрацца з самім паняццем, што гэта такое? Як абвяшчаюць шматлікія падручнікі матэматыкі, раўнанне - гэта некаторыя выразы, паміж якімі варта абавязкова знак роўнасці. У гэтых выразах прысутнічаюць літары, так званыя зменныя, значэнне якіх і неабходна знайсці.

Што такое пераменная? Гэта атрыбут сістэмы, які змяняе сваё значэнне. Наглядным прыкладам зменных з'яўляюцца:

• тэмпература паветра;
• рост дзіцяці;
• вага і гэтак далей.

У матэматыцы яны абазначаюцца літарамі, напрыклад, х, а, b, с ... Звычайна заданне па матэматыцы гучыць наступным чынам: знайдзіце значэнне ўраўненні. Гэта значыць, што неабходна знайсці значэнне дадзеных зменных.

разнавіднасці

Раўнанне (што такое, мы разабралі ў папярэднім пункце) можа быць наступнага выгляду:

• лінейныя;
• квадратныя;
• кубічныя;
• Алгебраічныя;
• трансцэндэнтныя.

Для больш падрабязнага знаёмства з усімі відамі, разгледзім кожны паасобку.

лінейнае раўнанне

Гэта першы выгляд, з якiм знаёмяцца школьнікі. Яны вырашаюцца даволі-такі хутка і проста. Такім чынам, лінейнае раўнанне, што такое? Гэты выраз выгляду: ах = с. Так не асоба зразумела, таму прывядзем некалькі прыкладаў: 2х = 26; 5х = 40; 1,2х = 6.

Разбяром прыклады раўнанняў. Для гэтага нам неабходна ўсе вядомыя дадзеныя сабраць з аднаго боку, а невядомыя ў іншы: х = 26/2; х = 40/5; х = 6 / 1,2. Тут выкарыстоўваліся элементарныя правілы матэматыкі: а * з = е, з гэтага з = е / а; а = е / с. Для таго каб завяршыць рашэнне раўнання, выканаем адно дзеянне (у нашым выпадку дзяленне) х = 13; х = 8; х = 5. Гэта былі прыклады на множанне, цяпер прагледзім на адніманне і складанне: х + 3 = 9; 10х-5 = 15. Вядомыя дадзеныя пераносім ў адзін бок: х = 9-3; х = 20/10. Выконваем апошняе дзеянне: х = 6; х = 2.

Таксама магчымыя варыянты лінейных раўнанняў, дзе выкарыстоўваецца больш адной зменнай: 2х-2У = 4. Для таго каб вырашыць, неабходна да кожнай часткі дадаць 2У, у нас атрымліваецца 2х-2У + 2У = 4-2у, як мы заўважылі, па левую частку знака роўнасці -2у і + 2У скарачаюцца, пры гэтым у нас застаецца: 2х = 4 -2у. Апошнім крокам дзелім кожную частку на два, атрымліваем адказ: ікс роўны два мінус Ігрэк.

Задачы з раўнаннямі сустракаюцца нават на папірус Ахмеса. Вось адна з задач: колькасць і чацвёртая яго частка даюць у суме 15. Для яе вырашэння мы запісваем наступнае раўнанне: ікс плюс адна чацвёртая ікс раўняецца пятнаццаці. Мы бачым яшчэ адзін прыклад лінейнага ўраўненні, па выніку рашэння, атрымліваем адказ: х = 12. Але гэтую задачу можна вырашыць і іншым спосабам, а менавіта егіпецкім або, як яго называюць па-іншаму, спосабам здагадкі. У папірусе выкарыстоўваецца наступнае рашэнне: вазьмеце чатыры і чацвёртую яе частка, то ёсць адзінку. У суме яны даюць пяць, цяпер пятнаццаць неабходна падзяліць на суму, мы атрымліваем тры, апошнім дзеяннем тры памнажаем на чатыры. Мы атрымліваем адказ: 12. Чаму мы ў вырашэнні пятнаццаць дзелім на пяць? Так даведаемся, у колькі разоў пятнаццаць, то ёсць вынік, які нам неабходна атрымаць, менш за пяць. Такім спосабам вырашалі задачы ў сярэднія вякі, ён стаў звацца метадам фальшывага становішча.

квадратныя ўраўненні

Акрамя разгледжаных раней прыкладаў, існуюць і іншыя. Якія менавіта? Квадратнае раўнанне, што такое? Яны маюць выгляд ax ² + bx + c = 0. Для іх вырашэння неабходна азнаёміцца з некаторымі паняццямі і правіламі.

Па-першае, трэба знайсці дискриминант па формуле: b ² -4ac. Ёсць тры варыянты зыходу рашэнні:

• дискриминант больш за нуль;
• менш за нуль;
• роўны нулю.

У першым варыянце мы можам атрымаць адказ з двух каранёў, якія знаходзяцца па формуле: -b + -корень з дискриминанта падзеленыя на падвоены першы каэфіцыент, то ёсць 2а.

У другім выпадку каранёў у ўраўненні няма. У трэцім выпадку корань знаходзіцца па формуле: -b / 2а.

Разгледзім прыклад квадратнага ўраўнення для больш падрабязнага знаёмства: тры ікс ў квадраце мінус чатырнаццаць ікс мінус пяць раўняецца нулю. Для пачатку, як і пісалася раней, шукаем дискриминант, у нашым выпадку ён роўны 256. Адзначым, што атрыманы лік больш за нуль, такім чынам, мы павінны атрымаць адказ якія складаюцца з двух каранёў. Падстаўляем атрыманы дискриминант ў формулу знаходжання каранёў. У выніку мы маем: ікс раўняецца пяці і мінус адной трэцяй.

Асаблівыя выпадкі ў квадратных ўраўненнях

Гэта прыклады, у якіх некаторыя значэнні роўныя нулю (а, b або с), а магчыма і некалькі.

Для прыкладу возьмем наступнае раўнанне, якое з'яўляецца квадратным: два ікс ў квадраце раўняецца нулю, тут мы бачым, што b і з роўныя нулю. Паспрабуем яго вырашыць, для гэтага абедзве часткі ўраўненні дзелім на два, мы маем: х ² = 0. У выніку атрымліваем х = 0.

Іншы выпадак 16х ² -9 = 0. Тут толькі b = 0. Вырашым раўнанне, свабодны каэфіцыент пераносім ў правую частку: 16х ² = 9, цяпер кожную частку дзелім на шаснаццаць: х ² = дзевяць шаснаццатых. Так як у нас х у квадраце, то корань з 9/16 можа быць як адмоўным, так і станоўчым. Адказ запісваем наступным чынам: ікс раўняецца плюс / мінус тры чацвёртае.

Магчымы і такі варыянт адказу, як у ўраўненні каранёў зусім няма. Паглядзім на такі прыклад: 5х ² + 80 = 0, тут b = 0. Для вырашэння свабодны член перакідаецца ў правы бок, пасля гэтых дзеянняў атрымліваем: 5х ² = -80, цяпер кожную частку дзелім на пяць: х ² = мінус шаснаццаць. Калі любы лік ўзвесці ў квадрат, то адмоўнае значэнне мы не атрымаем. Па гэтым наш адказ гучыць так: у ўраўненні каранёў няма.

разлажэнне трохчлена

Заданне па квадратным раўнаннях можа гучаць і іншым чынам: раскласці квадратны трехчлен на множнікі. Гэта магчыма ажыццявіць, скарыстаўшыся наступнай формулай: а (х-х ₁₎ (х-х _2). Для гэтага, як і ў іншым варыянце заданні, неабходна знайсці дискриминант.

Разгледзім наступны прыклад: 3х ² -14х-5, раскладзеце трехчлен на множетели. Знаходзім дискриминант, карыстаючыся ўжо вядомай нам формулай, ён атрымліваецца роўным 256. Адразу адзначаем, што 256 больш за нуль, такім чынам, раўнанне будзе мець два кораня. Знаходзім іх, як у папярэднім пункце, мы маем: х = пяць і мінус адна трэцяя. Скарыстаемся формулай для раскладання трохчлена на множетели: 3 (х-5) (х +1 / 3). У другой дужкі мы атрымалі знак роўна, таму што ў формуле стаіць знак мінуса, а корань таксама адмоўны, карыстаючыся элементарнымі ведамі матэматыкі, у суме мы маем знак плюса. Для спрашчэння, перамнажаць першы і трэці член ўраўненні, каб пазбавіцца ад дробу: (х-5) (х + 1).

Ўраўненні зводзяцца да квадратнага

У дадзеным пункце навучымся вырашаць больш складаныя ўраўненні. Пачнем адразу з прыкладу:

(x ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Можам заўважыць паўтараюцца элементы: (x ² - 2x), нам для вырашэння зручна замяніць яго на іншую зменную, а далей вырашаць звычайнае квадратнае раўнанне, адразу адзначаем, што ў такім заданні мы атрымаем чатыры кораня, гэта не павінна вас палохаць. Пазначаем паўтарэнне зменнай а. Мы атрымліваем: а ² -2а-3 = 0. Наш наступны крок - гэта знаходжанне дискриминанта новага ўраўненні. Мы атрымліваем 16, знаходзім два кораня: мінус адзін і тры. Ўспамінаем, што мы рабілі замену, падстаўляем гэтыя значэння, у выніку мы маем ўраўненні: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Вырашаем іх у першым адказ: х роўны адзінцы, у другім: х роўны мінусу аднаму і тром. Запісваем адказ наступным чынам: плюс / мінус адзін і тры. Як правіла, адказ запісваюць у парадку ўзрастання.

кубічныя ўраўненні

Разгледзім яшчэ адзін магчымы варыянт. Размова пойдзе пра кубічных ўраўненнях. Яны маюць выгляд: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Прыклады раўнанняў мы разгледзім далей, а для пачатку трохі тэорыі. Яны могуць мець тры кораня, гэтак жа існуе формула для знаходжання дискриминанта для кубічнага раўнання.

Разгледзім прыклад: 3х ³ + 4х ² + 2х = 0. Як яго вырашыць? Для гэтага мы проста выносім х за дужкі: х (3х ² + 4х + 2) = 0. Усё, што нам застаецца зрабіць - гэта вылічыць карані ўраўненні ў дужках. Дискриминант квадратнага ўраўненні ў дужках менш за нуль, зыходзячы з гэтага, выраз мае корань: х = 0.

Алгебра. ўраўненні

Пераходзім да наступнага ўвазе. Зараз мы коратка разгледзім Алгебраічныя ўраўненні. Адно з заданняў гучыць наступным чынам: метадам групоўкі раскласці на множетели 3х ⁴ + 2х ³ + 8х ² + 2х + 5. Самым зручным спосабам будзе наступная групоўка: (3х ⁴ + 3х ²⁾ + (2х ³ + 2х) + (5х ² + 5). Заўважым, што 8х ² з першага выразы мы прадставілі ў выглядзе сумы 3х ² і 5х ^2. Цяпер выносім з кожнай дужкі агульны множнік 3х ² (х2 + 1) + 2х (х ² +1) +5 (х ² +1). Мы бачым, што ў нас ёсць агульны множнік: ікс ў квадраце плюс адзін, выносім яго за дужкі: (х ² +1) (3х ² + 2х + 5). Далейшае раскладанне немагчыма, так як абодва ўраўненні маюць адмоўны дискриминант.

трансцэндэнтныя ўраўненні

Прапануем разабрацца з наступным тыпам. Гэта ўраўненні, якія ўтрымліваюць трансцэндэнтныя функцыі, а менавіта лагарыфмічныя, трыганаметрычныя або паказальныя. Прыклады: 6sin ² x + tgx-1 = 0, х + 5lgx = 3 і гэтак далей. Як яны вырашаюцца вы даведаецеся з курсу трыганаметрыі.

функцыя

Завяршальным этапам разгледзім паняцце раўнанне функцыі. У адрозненні ад папярэдніх варыянтаў, дадзены тып не вырашаецца, а па ім будуецца графік. Для гэтага раўнанне варта добра прааналізаваць, знайсці ўсе неабходныя кропкі для пабудовы, вылічыць кропку мінімуму і максімуму.