Тонкая лінза: формула і вывад формулы. Рашэнне задач з формулай тонкай лінзы

Цяпер гаворка пойдзе пра геаметрычную оптыцы. У гэтым раздзеле шмат часу надаецца такому аб'екту, як лінза. Бо яна можа быць рознай. Пры гэтым формула тонкай лінзы адна на ўсе выпадкі. Толькі трэба ведаць, як яе правільна ўжыць.

віды лінзаў

Ёю назаўсёды з'яўляецца празрыстае для светлавых прамянёў цела, якое мае асаблівую форму. Знешні выгляд аб'екта дыктуюць дзве сферычныя паверхні. Адну з іх дапускаецца замяніць на плоскую.

Прычым у лінзы можа апынуцца тоўшчы сярэдзіна ці краю. У першым выпадку яна будзе называцца выпуклай, у другім - ўвагнутай. Прычым у залежнасці ад таго, як спалучаюцца ўвагнутыя, выпуклыя і плоскія паверхні, лінзы таксама могуць быць рознымі. А менавіта: дваякапукатую і двояковогнутыми, плосковыпуклыми і плосковогнутыми, выпукла-ўвагнутымі і ўвагнутых-выпуклымі.

У звычайных умовах гэтыя аб'екты выкарыстоўваюцца ў паветры. Вырабляюць іх з рэчыва, аптычная шчыльнасць якога больш, чым у паветра. Таму выпуклая лінза будзе якая збірае, а ўвагнутая - рассейвалай.

агульныя характарыстыкі

формуле тонкой линзы , нужно определиться с основными понятиями. Да таго, як казаць пра формулу тонкай лінзы, трэба вызначыцца з асноўнымі паняццямі. Іх абавязкова трэба ведаць. Паколькі да іх увесь час будуць звяртацца розныя задачы.

Галоўная аптычная вось - гэта прамая. Яна праведзена праз цэнтры абедзвюх сферычных паверхняў і вызначае месца, дзе знаходзіцца цэнтр лінзы. Існуюць яшчэ дадатковыя аптычныя восі. Яны праводзяцца праз кропку, якая з'яўляецца цэнтрам лінзы, але не ўтрымліваюць цэнтры сферычных паверхняў.

У формуле тонкай лінзы ёсць велічыня, якая вызначае яе фокусная адлегласць. Так, фокусам з'яўляецца кропка на галоўнай аптычнай восі. У ёй перасякаюцца прамяні, якія ідуць паралельна названай восі.

Прычым фокусаў у кожнай тонкай лінзы заўсёды два. Яны размешчаны па абодва бакі ад яе паверхняў. Абодва фокусу ў якая збірае сапраўдныя. У рассейвалай - ўяўныя.

F ) . Адлегласць ад лінзы да пункту фокусу - гэта фокусная адлегласьць (літара F). Прычым яго значэнне можа быць станоўчым (у выпадку якая збірае) або адмоўным (для рассейвалай).

З фокусным адлегласцю звязаная яшчэ адна характарыстыка - аптычная сіла. D. Ее значение всегда - величина, обратная фокусу, то есть D = 1/ F. Измеряется оптическая сила в диоптриях (сокращенно, дптр). Яе прынята пазначаць D. яе значэнне заўсёды - велічыня, зваротная фокусу, то ёсць D = 1 / F. Вымяраецца аптычная сіла ў дыёптрый (скарочана, дптр).

Якія яшчэ абазначэння ёсць у формуле тонкай лінзы

Акрамя ўжо названага фокуснай адлегласці, спатрэбіцца ведаць некалькі адлегласцяў і памераў. Для ўсіх відаў лінзаў яны аднолькавыя і прадстаўлены ў табліцы.

абазначэнне	Назва
d	адлегласць да прадмета
h	вышыня вывучаемай прадмета
f	адлегласць да малюнка
H	вышыня атрыманага малюнка

Усе названыя адлегласці і вышыні прынята вымяраць у метрах.

У фізіцы з формулай тонкай лінзы звязана яшчэ паняцце павелічэння. . Яно вызначаецца як стаўленне памераў выявы да вышыні прадмета, гэта значыць H / h. Яго можна пазначыць літарай Г.

Што трэба для пабудовы малюнка ў тонкай лінзе

Гэта неабходна ведаць, каб атрымаць формулу тонкай лінзы, якая збірае або рассейвалай. Чарцёж пачынаецца з таго, што абедзве лінзы маюць сваё схематычны малюнак. Абедзве яны выглядаюць як адрэзак. Толькі ў якая збірае на яго канцах стрэлкі накіраваны вонкі, а ў рассейвалай - ўнутр гэтага адрэзку.

Зараз да гэтага адрэзку неабходна правесці перпендыкуляр да яго сярэдзіне. Так будзе намаляваная галоўная аптычная вось. На ёй з абодвух бакоў ад лінзы на аднолькавай адлегласці належыць адзначыць фокусы.

Прадмет, малюнак якога патрабуецца пабудаваць, малюецца ў выглядзе стрэлкі. Яна паказвае, дзе знаходзіцца верх прадмета. У агульным выпадку прадмет змяшчаецца паралельна лінзе.

Як пабудаваць малюнак у тонкай лінзе

Для таго каб пабудаваць малюнак прадмета, дастаткова знайсці кропкі рэшт малюнка, а потым іх злучыць. Кожная з гэтых двух пунктаў можа атрымацца ад перасячэння двух прамянёў. Найбольш простымі ў пабудове з'яўляюцца два з іх.

• Які ідзе з названай пункту паралельна галоўнай аптычнай восі. Пасля сутыкнення з лінзай ён ідзе праз галоўны фокус. Калі гаворка ідзе пра якая збірае лінзе, то гэты фокус знаходзіцца за лінзай і прамень ідзе праз яго. Калі разглядаецца рассейваючая, то прамень трэба правесці так, каб яго працяг праходзіла праз фокус перад лінзай.

• Які ідзе непасрэдна праз аптычны цэнтр лінзы. Ён не змяняе за ёй свайго кірунку.

Бываюць сітуацыі, калі прадмет пастаўлены перпендыкулярна галоўнай аптычнай восі і сканчаецца на ёй. Тады дастаткова пабудаваць малюнак пункту, якая адпавядае краі стрэлкі, ня якая ляжыць на восі. А потым правесці з яе перпендыкуляр да восі. Гэта і будзе малюнак прадмета.

Скрыжаванне пабудаваных кропак дае малюнак. У тонкай якая збірае лінзе атрымліваецца сапраўдны малюнак. Гэта значыць яно атрымліваецца непасрэдна на скрыжаванні прамянёў. Выключэннем з'яўляецца сітуацыя, калі прадмет змешчаны паміж лінзай і фокусам (як у лупе), тады малюнак аказваецца ўяўным. У рассейвалай ж яно заўсёды атрымліваецца ўяўным. Бо яно атрымліваецца на перасячэнні не саміх прамянёў, а іх працягаў.

Сапраўдны малюнак прынята чарціць суцэльнай лініяй. А вось ўяўнае - пункцірам. Звязана гэта з тым, што першае на самай справе там прысутнічае, а другое толькі бачыцца.

Выснова формулы тонкай лінзы

Гэта зручна зрабіць на аснове чарцяжа, якія ілюструюць пабудова сапраўднага выявы ў якая збірае лінзе. Абазначэнне адрэзкаў паказана на чарцяжы.

Раздзел оптыкі нездарма называецца геаметрычнай. Спатрэбяцца веды менавіта з гэтага падзелу матэматыкі. ₁ ОВ ₁ . Для пачатку неабходна разгледзець трыкутнікі АОВ і А ₁ ОВ _1. Яны падобныя да, паколькі ў іх маецца па два роўных кута (прамыя і вертыкальныя). ₁ В ₁ и АВ относятся как модули отрезков ОВ ₁ и ОВ. З іх падабенства вынікае, што модулі адрэзкаў А ₁ У ₁ і АВ ставяцца як модулі адрэзкаў ОВ ₁ і ОВ.

COF и A ₁ FB ₁ . Падобнымі (на падставе таго ж прынцыпу па двух кутах) аказваюцца яшчэ два трыкутніка: COF і A ₁ FB _{1. 1} В ₁ с СО и FB ₁ с OF. У іх роўныя адносіны ўжо такіх модуляў адрэзкаў: А ₁ У ₁ з СА і FB ₁ з OF. Зыходзячы з пабудовы роўнымі будуць адрэзкі АВ і СА. Таму левыя часткi ўказаных роўнасцяў адносін аднолькавыя. Таму роўныя і правыя. ₁ / ОВ равно FB ₁ / OF. Гэта значыць ОВ ₁ / ОВ роўна FB ₁ / OF.

Ва ўказаным роўнасці адрэзкі, пазначаныя кропкамі, можна замяніць на адпаведныя фізічныя паняцці. ₁ — это расстояние от линзы до изображения. Так ОВ ₁ - гэта адлегласць ад лінзы да малюнка. ОВ з'яўляецца адлегласцю ад прадмета да лінзы. фокусное расстояние. OF - фокусная адлегласць. FB ₁ равен разности расстояния до изображения и фокуса. А адрэзак FB ₁ роўны рознасці адлегласці да выявы і фокусу. Таму яго можна перапісаць па-іншаму:

( f – F ) / F или Ff = df – dF. f / d = (f - F) / F або Ff = df - dF.

dfF. Для вываду формулы тонкай лінзы апошняе роўнасць неабходна падзяліць на dfF. Тады атрымліваецца:

1 / d + 1 / f = 1 / F.

Гэта ў ёсць формула тонкай якая збірае лінзы. У рассейвалай фокусная адлегласць адмоўнае. Гэта прыводзіць да змены роўнасці. Праўда, яно нязначнае. F. То есть: Проста ў формуле тонкай рассейвалай лінзы варта мінус перад стаўленнем 1 / F. Гэта значыць:

1 / d + 1 / f = - 1 / F.

Задача аб знаходжанні павелічэння лінзы

Ўмова. Фокусная адлегласць якая збірае лінзы роўна 0,26 м. Патрабуецца вылічыць яе павелічэнне, калі прадмет знаходзіцца на адлегласці 30 см.

Рашэнне. Яго пачаць варта з увядзення пазначэнняў і перакладу адзінак у Сі. d = 30 см = 0,3 м и F = 0,26 м. Теперь нужно выбрать формулы, основная из них та, которая указана для увеличения, вторая — для тонкой собирающей линзы. Так, вядомыя d = 30 см = 0,3 м і F = 0,26 м. Цяпер трэба выбраць формулы, асноўная з іх тая, якая указана для павелічэння, другая - для тонкай якая збірае лінзы.

Іх трэба неяк аб'яднаць. Для гэтага прыйдзецца разгледзець чарцёж пабудовы малюнка ў якая збірае лінзе. = f/d. З падобных трыкутнікаў відаць, што Г = H / h = f / d. Гэта значыць для таго, каб знайсці павелічэнне, прыйдзецца вылічыць стаўленне адлегласці да малюнка да адлегласці да прадмета.

Другое вядома. А ці далёка было да малюнка належыць вывесці з формулы, паказанай раней. Атрымліваецца, што

= dF / ( d - F ). f = dF / (dF).

Цяпер гэтыя дзве формулы неабходна аб'яднаць.

dF / ( d ( d - F )) = F / ( d - F ). Г = dF / (d (dF)) = F / (dF).

У гэты момант рашэнне задачы на формулу тонкай лінзы зводзіцца да элементарных разлікаў. Засталося падставіць вядомыя велічыні:

Г = 0,26 / (0,3 - 0,26) = 0,26 / 0,04 = 6,5.

Адказ: лінза дае павелічэнне ў 6,5 разоў.

Задача, у якой трэба знайсці фокус

Ўмова. Лямпа размешчана ў адным метры ад якая збірае лінзы. Малюнак яе спіралі атрымліваецца на экране, адлеглым ад лінзы на 25 см. Вылічыце фокусная адлегласць названай лінзы.

Рашэнне. d =1 м и f = 25 см = 0,25 м. Этих сведений достаточно, чтобы из формулы тонкой линзы вычислить фокусное расстояние. У дадзеныя належыць запісаць такія велічыні: d = 1 м і f = 25 см = 0,25 м. Гэтых звестак дастаткова, каб з формулы тонкай лінзы вылічыць фокусная адлегласць.

F = 1/1 + 1/0,25 = 1 + 4 = 5. Но в задаче требуется узнать фокус, а не оптическую силу. Так 1 / F = 1/1 + 1 / 0,25 = 1 + 4 = 5. Але ў задачы патрабуецца даведацца фокус, а не аптычную сілу. Таму застаецца толькі падзяліць 1 на 5, і атрымаецца фокусная адлегласць:

1/5 = 0, 2 м. F = 1/5 = 0, 2 м.

Адказ: фокусная адлегласць якая збірае лінзы роўна 0,2 м.

Задача аб знаходжанні адлегласці да малюнка

Ўмова. Свечку паставілі на адлегласці 15 см ад якая збірае лінзы. Яе аптычная сіла роўная 10 дптр. Экран за лінзай пастаўлены так, што на ім атрымліваецца выразны малюнак свечкі. Чаму роўна гэта адлегласць?

Рашэнне. d = 15 см = 0,15 м, D = 10 дптр. У кароткую запіс належыць запісаць такія дадзеныя: d = 15 см = 0,15 м, D = 10 дптр. Формулу, выведзеную вышэй, трэба запісаць з невялікім змяненнем. D вместо 1/ F. А менавіта, у правай частцы роўнасці паставіць D замест 1 / F.

Пасля некалькіх пераўтварэнняў атрымліваецца такая формула для адлегласці ад лінзы да малюнка:

= d / ( dD - 1). f = d / (dD - 1).

Зараз неабходна падставіць ўсе лікі і злічыць. f: 0,3 м. Атрымліваецца такое значэнне для f: 0,3 м.

Адказ: адлегласць ад лінзы да экрана роўна 0,3 м.

Задача аб адлегласці паміж прадметам і яго выявай

Ўмова. Прадмет і яго выява абароняць адзін ад аднаго на 11 см. Збірае лінза дае павелічэнне ў 3 разы. Знайсці яе фокусная адлегласць.

Рашэнне. L = 72 см = 0,72 м. Увеличение Г = 3. Адлегласць паміж прадметам і яго выявай зручна пазначыць літарай L = 72 см = 0,72 м. Павелічэнне Г = 3.

Тут магчымыя дзве сітуацыі. Першая - прадмет стаіць за фокусам, то ёсць выява атрымліваецца сапраўднае. У другой - прадмет паміж фокусам і лінзай. Тады малюнак з той жа боку, што і прадмет, прычым ўяўнае.

Разгледзім першую сітуацыю. Прадмет і малюнак знаходзяцца па розныя бакі ад якая збірае лінзы. L = d + f. Тут можна запісаць такую формулу: L = d + f. f / d. Другім раўнаннем належыць запісаць: Г = f / d. Неабходна вырашыць сістэму гэтых раўнанняў з двума невядомымі. L на 0,72 м, а Г на 3. Для гэтага замяніць L на 0,72 м, а Г на 3.

f = 3 d. З другога раўнання атрымліваецца, што f = 3 d. d. Тады першае пераўтворыцца так: 0,72 = 4 d. d = 0, 18 (м). З яго лёгка злічыць d = 0, 18 (м). f = 0,54 (м). Цяпер лёгка вызначыць f = 0,54 (х).

Засталося скарыстацца формулай тонкай лінзы, каб вылічыць фокусная адлегласць. = (0,18 * 0,54) / (0,18 + 0,54) = 0,135 (м). F = (0,18 * 0,54) / (0,18 + 0,54) = 0,135 (м). Гэта адказ для першага выпадку.

L будет другой: L = f - d. У другой сітуацыі - выява ўяўнае, і формула для L будзе іншы: L = f - d. Другое раўнанне для сістэмы будзе тым жа. d = 0, 36 (м), а f = 1,08 (м). Аналагічна разважаючы, атрымаем, што d = 0, 36 (м), а f = 1,08 (х). Падобны разлік фокуснай адлегласці дасць такі вынік: 0,54 (х).

Адказ: фокусная адлегласць лінзы роўна 0,135 м ці 0,54 м.

замест заключэння

Ход прамянёў у тонкай лінзе - гэта важнае практычнае прыкладанне геаметрычнай оптыкі. Бо іх выкарыстоўваюць у шматлікіх прыборах ад простай лупы да дакладных мікраскопаў і тэлескопаў. Таму ведаць пра іх неабходна.

Выведзеная формула тонкай лінзы дазваляе вырашаць мноства задач. Прычым яна дазваляе рабіць высновы пра тое, якое малюнак даюць розныя віды лінзаў. Пры гэтым досыць ведаць яе фокусная адлегласць і адлегласць да прадмета.