Як знаходзіць вышыню ў роўнабаковага трыкутніка? Формула знаходжання, ўласцівасці вышыні ў роўнабаковага трыкутніка

Геаметрыя - гэта не толькі прадмет у школе, па якім трэба атрымаць выдатную ацэнку. Гэта яшчэ і веды, якія часта патрабуюцца ў жыцці. Напрыклад, пры будаўніцтве хаты з высокім дахам неабходна разлічыць таўшчыню бярвення і іх колькасць. Гэта нескладана, калі ведаць, як знаходзіць вышыню ў роўнабаковага трыкутніка. Архітэктурныя збудаванні грунтуюцца на веданні уласцівасцяў геаметрычных фігур. Формы будынкаў часцяком візуальна нагадваюць іх. Егіпецкія піраміды, пакеты з малаком, мастацкая вышыўка, паўночныя роспісу і нават піражкі - гэта ўсё трыкутнікі, навакольныя чалавека. Як казаў Платон, увесь свет грунтуецца на трыкутніках.

роўнабаковы трохкутнік

Каб было больш зразумела, пра што далей пойдзе гаворка, варта трохі ўспомніць асновы геаметрыі.

Трохкутнік з'яўляецца роўнабаковы, калі ён мае дзве роўных боку. Іх заўсёды называюць бакавымі. Бок, памеры якой адрозніваюцца, атрымала назву падставы.

асноўныя паняцці

Як і любая навука, геаметрыя мае свае асноўныя правілы і паняцці. Іх досыць шмат. Разгледзім толькі тыя, без якіх наша тэма будзе некалькі незразумелая.

Вышыня - гэта прамая лінія, праведзеная перпендыкулярна да процілеглага боку.

Медыяна - гэта адрэзак, накіраваны з любой вяршыні трохвугольніка выключна да сярэдзіны процілеглага боку.

Бісектрыса вугла - гэта прамень, які падзяляе кут напалову.

Бісектрыса трыкутніка - гэта прамая, дакладней, адрэзак бісектрысы кута, які злучае вяршыню з процілеглым бокам.

Вельмі важна запомніць, што бісектрыса вугла - гэта абавязкова прамень, а бісектрыса трыкутніка - гэта частка такога прамяня.

Куты пры падставе

Тэарэма абвяшчае, што куты, размешчаныя пры падставе любога роўнабаковага трыкутніка, заўсёды роўныя. Даказаць гэтую тэарэму вельмі проста. Разгледзім намаляваны роўнабаковы трохкутнік АВС, у якога АВ = ВС. З кута АВС неабходна правесці бісектрыса ВД. Зараз варта разгледзець два атрыманых трыкутніка. Па ўмове АВ = нд, бок ВД ў трыкутнікаў агульная, а куты АВД і СВД роўныя, бо ВД - бісектрыса. Успомніўшы першы прыкмета роўнасці, можна смела заключыць, што разгляданыя трыкутнікі роўныя. А такім чынам, роўныя ўсе адпаведныя вуглы. І, вядома, бакі, але да гэтага моманту вернемся пазней.

Вышыня роўнабаковага трыкутніка

Асноўная тэарэма, на якой грунтуецца рашэнне практычна ўсіх задач, гучыць так: вышыня ў роўнабаковага трыкутніка з'яўляецца Бісектрысай і медыянай. Каб зразумець яе практычны сэнс (ці сутнасць), варта зрабіць дапаможнае дапаможнік. Для гэтага неабходна выразаць з паперы роўнабаковы трохкутнік. Лягчэй за ўсё гэта зрабіць з звычайнага сшыткавых лістка ў клетачку.

Сагніце атрыманы трохкутнік папалам, сумясціўшы бакавіцы. Што атрымалася? Два роўных трохвугольнік. Цяпер варта праверыць здагадкі. Разгарніце атрыманае арыгамі. Прачарціў лінію згіну. Пры дапамозе транспарціра праверце кут паміж прачэрчанай лініяй і падставай трыкутніка. Пра што кажа кут у 90 градусаў? Пра тое, што прачэрчанай лінія - перпендыкуляр. Па азначэнні - вышыня. Як знаходзіць вышыню ў роўнабаковага трыкутніка, мы разабраліся. Зараз зоймемся кутамі пры вяршыні. Пры дапамозе таго ж транспарціра праверце куты, адукаваныя зараз ужо вышынёй. Яны роўныя. Значыць, вышыня адначасова з'яўляецца і Бісектрысай. Узброіўшыся лінейкай, вымерайце адрэзкі, на якія разбівае вышыня падставу. Яны роўныя. Такім чынам, вышыня ў роўнабаковага трыкутніка дзеліць падстава напалову і з'яўляецца медыянай.

доказ тэарэмы

Наглядны дапаможнік ярка дэманструе сапраўднасць тэарэмы. Але геаметрыя - навука досыць дакладная, таму патрабуе доказаў.

Падчас разгляду роўнасці кутоў пры падставе было даказана роўнасць трыкутнікаў. Нагадаем, ВД - бісектрыса, а трыкутнікі АВД і СВД роўныя. Вывад быў такі: адпаведныя боку трохвугольніка і, натуральна, куты роўныя. Значыць, ПЕКЛА = СД. Такім чынам, ВД - медыяна. Засталося даказаць, што ВД з'яўляецца вышынёй. Зыходзячы з роўнасці разгляданых трыкутнікаў, атрымліваецца, што кут АДВ роўны куце СДВ. Але гэтыя два кута з'яўляюцца сумежнымі, і, як вядома, даюць у суме 180 градусаў. Такім чынам, чаму яны роўныя? Вядома, 90 градусам. Такім чынам, ВД - гэта вышыня ў роўнабаковага трыкутніка, праведзеная да падставы. Што і патрабавалася даказаць.

асноўныя прыкметы

• Каб паспяхова вырашаць задачы, варта запомніць асноўныя прыкметы роўнабаковага трыкутніка. Яны як бы процілеглыя тэарэмы.
• Калі ў ходзе рашэння задачы выяўляецца роўнасць двух кутоў, значыць, вы маеце справу з роўнабаковага трыкутніка.
• Калі атрымалася даказаць, што медыяна з'яўляецца адначасова і вышынёй трохвугольніка, смела заключайце - трохкутнік роўнабаковы.
• Калі бісектрыса з'яўляецца і вышынёй, то, абапіраючыся на асноўныя прыкметы, трохкутнік адносяць да роўнабаковы.
• І, вядома, калі медыяна выступае і ў ролі вышыні, то такі трохкутнік - роўнабаковы.

Формула вышыні 1

Аднак для большасці задач патрабуецца знайсці арыфметычную велічыню вышыні. Менавіта таму разгледзім, як знаходзіць вышыню ў роўнабаковага трыкутніка.

Вернемся да прадстаўленай вышэй постаці АВС, у якой а - бакавіцы, у - падстава. ВД - вышыня гэтага трыкутніка, яна мае пазначэнне h.

Што ўяўляе сабой трохвугольнік АВД? Бо ВД - вышыня, то трохвугольнік АВД - прастакутны, катэт якога неабходна знайсці. Скарыстаўшыся формулай Піфагора, атрымліваем:

АВ² = АД² + ВД²

Вызначыўшы з выраза УД і падставіўшы прынятыя раней абазначэння, атрымаем:

Н² = а² - (в / 2) ².

Неабходна атрымаць корань:

Н = √а² - в² / 4.

Калі вынесці з-пад знака кораня ¼, то формула будзе мець выгляд:

Н = ½ √4а² - в².

Так знаходзіцца вышыня ў роўнабаковага трыкутніка. Формула выцякае з тэарэмы Піфагора. Нават калі забыцца гэтую сімвалічную запіс, то, ведаючы метад знаходжання, заўсёды можна яе вывесці.

Формула вышыні 2

Формула, апісаная вышэй, з'яўляецца асноўнай і часцей за ўсё выкарыстоўваецца пры вырашэнні большасці геаметрычных задач. Але яна не адзіная. Часам у ўмове, замест падставы, дадзена значэнне кута. Пры такіх дадзеных як знаходзіць вышыню ў роўнабаковага трыкутніка? Для вырашэння падобных задач мэтазгодна выкарыстоўваць іншую формулу:

Н = а / sin α,

дзе Н - вышыня, накіраваная да падставы,

а - бакавая бок,

α - кут пры падставе.

Калі ў задачы дадзена значэнне кута пры вяршыні, то вышыня ў роўнабаковага трыкутніка знаходзіцца наступным чынам:

Н = а / cos (β / 2),

дзе Н - вышыня, апушчаная на падставу ,,

β - кут пры вяршыні,

а - бакавая бок.

Прастакутны роўнабаковы трохкутнік

Вельмі цікавым уласцівасцю валодае трохкутнік, вяршыня якога роўная 90 градусам. Разгледзім прастакутны трыкутнік АВС. Як і ў папярэдніх выпадках, ВД - вышыня, накіраваная да падставы.

Куты пры падставе роўныя. Вылічыць іх вялікай працы не складзе:

α = (180 - 90) / 2.

Такім чынам, куты, якія знаходзяцца пры падставе, заўсёды па 45 градусаў. Зараз разгледзім трохкутнік АДВ. Ён таксама з'яўляецца прастакутным. Знойдзем кут АВД. Шляхам нескладаных вылічэнняў атрымліваем 45 градусаў. А, такім чынам, гэты трохвугольнік не толькі прастакутны, але і роўнабаковы. Боку ПЕКЛА і ВД з'яўляюцца бакавіцамі і роўныя паміж сабой.

Але бок ПЕКЛА ў той жа час з'яўляецца паловай боку АС. Атрымліваецца, што вышыня ў роўнабаковага трыкутніка роўная палове падставы, а калі запісаць у выглядзе формулы, то атрымаем наступнае выказванне:

Н = в / 2.

Варта не забываць, што дадзеная формула з'яўляецца выключна прыватным выпадкам, і можа быць выкарыстана толькі для прастакутных роўнабаковага трыкутніка.

залатыя трыкутнікі

Вельмі цікавым з'яўляецца залаты трохкутнік. У гэтай постаці стаўленне збоку да падставы раўняецца велічыні, названай лікам Фидия. Кут, размешчаны пры вяршыні - 36 градусаў, пры падставе - 72 градуса. Гэтым трохвугольнікам захапляліся піфагарэйцы. Прынцыпы залатога трыкутніка пакладзены ў аснову мноства несмяротных шэдэўраў. Вядомая ўсім пяціканцовая зорка пабудавана на скрыжаванні роўнабаковага трыкутніка. Для многіх тварэнняў Леанарда да Вінчы выкарыстаў прынцып «залатога трыкутніка». Кампазіцыя «Джаконды» заснавана як раз на постацях, якія ствараюць сабой правільны зорчаты пяцiвугольнiк.

Карціна «Кубізм», адно з усяго створанага Пабла Пікаса, зачароўвае погляд пакладзенымі ў аснову роўнабаковымі трыкутнікамі.