Вышыня піраміды. Як яе знайсці?

Піраміда - гэта шматграннік, у падставе якога ляжыць шматкутнік. Усе грані у сваю чаргу ўтвараюць трыкутнікі, якія сыходзяцца ў адной вяршыні. Піраміды бываюць трохкутнымі, чатырохкутнымі і гэтак далей. Для таго каб вызначыць, якая піраміда перад вамі, дастаткова палічыць колькасць кутоў у яе падставе. Вызначэнне "вышыня піраміды" вельмі часта сустракаецца ў задачах па геаметрыі ў школьнай праграме. У артыкуле паспрабуем разгледзець розныя спосабы яе знаходжання.

частцы піраміды

Кожная піраміда складаецца з наступных элементаў:

• бакавыя грані, якія маюць па тры кута і сыходзяцца ў вяршыні;
• апафема ўяўляе сабой вышыню, якая апускаецца з яе вяршыні;
• вяршыня піраміды - гэта кропка, якая злучае бакавыя рэбры, але пры гэтым не ляжыць у плоскасці падставы;
• падстава - гэта шматкутнік, на якім не ляжыць вяршыня;
• вышыня піраміды ўяўляе сабой адрэзак, які перасякае вяршыню піраміды і ўтварае з яе падставай прамы кут.

Як знайсці вышыню піраміды, калі вядомы яе аб'ём

Праз формулу аб'ёму піраміды V = (S * h) / 3 (у формуле V - аб'ём, S - плошча падставы, h - вышыня піраміды) знаходзім, што h = (3 * V) / S. Для замацавання матэрыялу давайце адразу ж вырашым задачу. У трохкутнай пірамідзе плошчу падставы роўная 50 см ^2, тады як яе аб'ём складае 125 см ^3. Невядомая вышыня трохкутнай піраміды, якую нам і неабходна знайсці. Тут усё проста: вставляем дадзеныя ў нашу формулу. Атрымліваем h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайсці вышыню піраміды, калі вядомая даўжыня дыяганалі і яе рэбры

Як мы памятаем, вышыня піраміды ўтварае з яе падставай прамы кут. А гэта значыць што вышыня, рабро і палова дыяганалі разам утвараюць прастакутны трыкутнік. Многія, вядома ж, памятаюць тэарэму Піфагора. Ведаючы два вымярэння, трэцюю велічыню знайсці будзе нескладана. Успомнім вядомую тэарэму a² = b² + c², дзе а - гіпатэнуза, а ў нашым выпадку рабро піраміды; b - першы катэт ці палова дыяганалі і з - адпаведна, другі катэт, або вышыня піраміды. З гэтай формулы c² = a² - b².

Цяпер задача: у правільнай пірамідзе дыяганаль роўная 20 см, калі як даўжыня рэбры - 30 см. Неабходна знайсці вышыню. Вырашаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Адсюль з = √ 500 = каля 22,4.

Як знайсці вышыню ўсечанай піраміды

Яна ўяўляе сабой шматкутнік, які мае перасек паралельна яе падставы. Вышыня ўсечанай піраміды - гэта адрэзак, які злучае два яе заснавання. Вышыню можна знайсці ў правільнай піраміды, калі будуць вядомыя даўжыні дыяганаляў абодвух падстаў, а таксама рабро піраміды. Хай дыяганаль большай падставы роўная d1, у той час як дыяганаль меншага падставы - d2, а рабро мае даўжыню - l. Каб знайсці вышыню, можна з двух верхніх супрацьлеглых пунктаў дыяграмы апусціць вышыні на яе падстава. Мы бачым, што ў нас атрымаліся два прастакутных трыкутніка, застаецца знайсці даўжыні іх катэт. Для гэтага з большай дыяганалі адымаем меншую і дзелім на 2. Так мы знойдзем адзін катэт: а = (d1-d2) / 2. Пасля чаго па тэарэме Піфагора нам застаецца толькі знайсці другі катэт, які і з'яўляецца вышынёй піраміды.

Зараз разгледзім усё гэта справа на практыцы. Перад намі задача. Усечаная піраміда мае ў падставе квадрат, даўжыня дыяганалі большай падставы складае 10 см, у той час як меншага - 6 см, а рабро раўняецца 4 см. Трэба знайсьці вышыню. Для пачатку знаходзім адзін катэт: а = (10-6) / 2 = 2 см. Адзін катэт роўны 2 гл, а гіпатэнуза - 4 см. Атрымліваецца, што другі катэт або вышыня будзе роўная 16-4 = 12, гэта значыць h = √12 = каля 3,5 см.