Як вылічыць плошчу піраміды: падставы, бакавую і поўную?

Пры падрыхтоўцы да ЕГЭ па матэматыцы навучэнцам даводзіцца сістэматызаваць веды па алгебры і геаметрыі. Хочацца аб'яднаць усе вядомыя звесткі, напрыклад, пра тое, як вылічыць плошчу піраміды. Прычым пачынаючы ад падставы і бакавых граняў да плошчы ўсёй паверхні. Калі з бакавымі гранямі сітуацыя ясная, так як яны з'яўляюцца трыкутнікамі, то падстава заўсёды рознае.

Як быць пры знаходжанні плошчы падставы піраміды?

Яно можа быць зусім любы фігурай: ад адвольнага трыкутніка да n-кутніка. І гэта падстава, акрамя адрозненні ў колькасці кутоў, можа з'яўляцца правільнай фігурай або няправільнай. У цікавяць школьнікаў заданнях па ЕГЭ сустракаюцца толькі заданні з правільнымі фігурамі ў падставе. Таму гаворка будзе ісці толькі пра іх.

правільны трохкутнік

Гэта значыць роўнабаковага. Той, у якога ўсе бакі роўныя і пазначаныя літарай "а". У гэтым выпадку пляц падставы піраміды вылічаецца па формуле:

S = (а ² * √3) / 4.

квадрат

Формула для вылічэння яго плошчы самая простая, тут «а» - зноў бок:

S = а ^2.

Адвольны правільны n-кутнік

У боку шматкутніка той жа пазначэнне. Для колькасці кутоў выкарыстоўваецца лацінская літара n.

S = (n * а ²⁾ / (4 * tg (180º / n)).

Як паступіць пры вылічэнні плошчы бакавой і поўнай паверхні?

Паколькі ў падставе ляжыць правільная постаць, то усе грані піраміды аказваюцца роўнымі. Прычым кожная з іх з'яўляецца роўнабаковага трыкутніка, паколькі бакавыя рэбры роўныя. Тады для таго, каб вылічыць бакавую плошчу піраміды, спатрэбіцца формула, якая складаецца з сумы аднолькавых одночленов. Лік складнікаў вызначаецца колькасцю бакоў падставы.

Плошчу роўнабаковага трыкутніка вылічаецца па формуле, у якой палова творы падставы памнажаецца на вышыню. Гэтая вышыня ў пірамідзе называецца апафема. Яе пазначэнне - «А». Агульная формула для плошчы бакавой паверхні выглядае так:

S = ½ Р * А, дзе Р - перыметр падставы піраміды.

Бываюць сітуацыі, калі не вядомыя боку падставы, але дадзены бакавыя рэбры (у) і плоскі кут пры яе вяршыні (α). Тады належыць выкарыстоўваць такую формулу, каб вылічыць бакавую плошчу піраміды:

S = n / 2 * ў ² sin α.

Задача № 1

Ўмова. Знайсці агульную плошчу піраміды, калі ў яго падставе ляжыць роўнабаковага трыкутніка з бокам 4 гл, а апафема мае значэнне √3 см.

Рашэнне. Яго пачынаць трэба з разліку перыметра падставы. Паколькі гэта правільны трохкутнік, то Р = 3 * 4 = 12 см. Паколькі апафема вядомая, то можна адразу вылічыць плошчу ўсёй бакавой паверхні: ½ * 12 * √3 = 6√3 гл ^2.

Для трыкутніка ў падставе атрымаецца такое значэнне плошчы: (4 ² * √3) / 4 = 4√3 гл ^2.

Для вызначэння ўсёй плошчы спатрэбіцца скласці два атрыманых значэння: 6√3 + 4√3 = 10√3 гл ^2.

Адказ. 10√3 гл ^2.

Задача № 2

Ўмова. Маецца правільная чатырохкутная піраміда. Даўжыня боку падставы роўная 7 мм, бакавое рабро - 16 мм. Неабходна даведацца пляц яе паверхні.

Рашэнне. Паколькі шматграннік - чатырохвугольны і правільны, то ў яго падставе ляжыць квадрат. Даведаўшыся плошчы падставы і бакавых граняў, атрымаецца злічыць плошчу піраміды. Формула для квадрата дадзена вышэй. А ў бакавых граняў вядомыя ўсе бакі трыкутніка. Таму можна выкарыстоўваць формулу Герона для вылічэнні іх плошчаў.

Першыя разлікі простыя і прыводзяць да такога ліку: 49 мм ^2. Для другога значэння спатрэбіцца вылічыць полупериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Зараз можна вылічаць плошчу роўнабаковага трыкутніка: √ (19,5 * (19,5-7) * ( 19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм ^2. Такіх трыкутнікаў ўсяго чатыры, таму пры падліку выніковага колькасці спатрэбіцца яго памножыць на 4.

Атрымліваецца: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм ^2.

Адказ. Шуканае значэнне 267,576 мм ^2.

Задача № 3

Ўмова. У правільнай чатырохкутнай піраміды неабходна вылічыць плошчу. У ёй вядомая бок квадрата - 6 гл і вышыня - 4 см.

Рашэнне. Прасцей за ўсё скарыстацца формулай з творам перыметра і апафема. Першае значэнне знайсці проста. Другое крыху больш складана.

Прыйдзецца ўспомніць тэарэму Піфагора і разгледзець прастакутны трыкутнік. Ён утвораны вышынёй піраміды і апафема, якая з'яўляецца гіпатэнузай. Другі катэт роўны палове боку квадрата, паколькі вышыня мнагагранніка падае ў яго сярэдзіну.

Шуканая апафема (гіпатэнуза прастакутнага трыкутніка) роўная √ ^{(3 2 + 4 2) =} 5 ( см).

Зараз можна вылічаць шуканую велічыню: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (гл ^2).

Адказ. 96 см ^2.

Задача № 4

Ўмова. Дана правільная шасцікутнай піраміда. Боку яе заснавання роўныя 22 мм, бакавыя рэбры - 61 мм. Чаму роўная плошча бакавой паверхні гэтага мнагагранніка?

Рашэнне. Развагі ў ёй такія ж, як былі апісаны ў задачы №2. Толькі там была дадзена піраміда з квадратам ў падставе, а зараз гэта шасцікутнік.

Перш за ўсё вылічаецца плошчу заснавання па названай вышэй формуле: ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 гл ^2.

Зараз неабходна даведацца полупериметр роўнабаковага трыкутніка, які з'яўляецца бакавой гранню. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Засталося па формуле Герона злічыць плошча кожнага такога трыкутніка, а потым памножыць яе на шэсць і скласці з той, што атрымалася для падставы.

Разлікі па формуле Герона: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 см ^2. Вылічэнні, якія дадуць плошчу бакавой паверхні: 660 * 6 = 3960 см ^2. Засталося іх скласці, каб даведацца ўсю паверхню: 5217,47≈5217 гл ^2.

Адказ. Заснавання - 726√3 гл ^2, бакавой паверхні - 3960 гл ^2, уся плошча - 5217 см ^2.