Метад Крамера і яго прымяненне

Метад Крамера - гэта адзін з дакладных метадаў рашэння сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў (Слау). Дакладнасць яго абумоўлена выкарыстаннем вызначальнікаў матрыцы сістэмы, а таксама некаторымі абмежаваннямі, накладваць у ходзе доказы тэарэмы.

Сістэмай лінейных алгебраічных раўнанняў з каэфіцыентамі, прыналежнымі, напрыклад, мноству R - сапраўдных лікаў, ад невядомых x1, x2, ..., xn называюць набор выразаў віду

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi пры i = 1, 2, ..., m, (1)

дзе aij, bi - сапраўдныя лікі. Кожнае з гэтых выразаў называецца лінейным раўнаннем, aij - каэфіцыентамі пры невядомых, bi - свабоднымі каэфіцыентамі раўнанняў.

Рашэннем сістэмы (1) называюць n-мерны вектар x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), пры падстаноўцы якога ў сістэму замест невядомых x1, x2, ..., xn кожная з радкоў у сістэме становіцца верным роўнасцю .

Сістэма называецца сумеснай, калі ў яе ёсць хоць бы адно рашэнне, і несумесныя, калі яе мноства рашэнняў супадае з пустым мноствам.

Неабходна памятаць, што для таго, каб знайсці рашэнне сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў, выкарыстоўваючы метад Крамера, матрыцы сістэм павінны быць квадратнымі, што па сутнасці азначае аднолькавая колькасць невядомых і раўнанняў у сістэме.

Такім чынам, каб выкарыстоўваць метад Крамера, неабходна як мінімум ведаць, што такое матрыца сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў і як яна выпісваецца. А па-другое, разумець, што называюць вызначальнікам матрыцы і валодаць навыкамі яго вылічэнні.

Выкажам здагадку, што гэтымі ведамі вы валодаеце. Выдатна! Тады вам застаецца ўсяго толькі запомніць формулы, якія вызначаюць метад Крамера. Для спрашчэння запамінання скарыстаемся наступнымі пазначэннямі:

• Det - галоўны вызначальнік матрыцы сістэмы;

• deti - гэта вызначальнік матрыцы, атрыманай з асноўнай матрыцы сістэмы, калі замяніць i-й слупок матрыцы на вектар-слупок, элементамі якога з'яўляюцца правыя часткі сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў;

• n - колькасць невядомых і раўнанняў у сістэме.

Тады правіла Крамера вылічэнні i-й кампаненты xi (i = 1, .. n) n-мернага вектара x можна запісаць у выглядзе

xi = deti / Det, (2).

Пры гэтым Det строга выдатны ад нуля.

Адзінасць рашэння сістэмы пры яе сумеснай забяспечвае ўмова няроўнасці нуля галоўнага вызначальніка сістэмы. У адваротным выпадку, калі сума (xi), збудаваных у квадрат, строга дадатная, то Слау з квадратнай матрыцай будзе несумесныя. Гэта можа адбыцца, у прыватнасці, калі, па меншай меры, адзін з deti выдатны ад нуля.

Прыклад 1. Вырашыць трохмерную сістэму Лау, выкарыстоўваючы формулы Крамера.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Рашэнне. Выпішам матрыцу сістэмы парадкова, дзе Ai - гэта i -я радок матрыцы.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
Слупок свабодных каэфіцыентаў b = (31 29 10).

Галоўны вызначальнік Det сістэмы роўны
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Для вылічэнні det1 выкарыстоўваем падстаноўку a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. тады
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Аналагічна, для вылічэнні det2 выкарыстоўваем падстаноўку a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 і, адпаведна, для вылічэнні det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Тады можаце праверыць, што det2 = -108, а det3 = - 135.
Згодна з формулах Крамера знаходзім x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Адказ: x ° = (3,4,5).

Абапіраючыся на ўмовы прымянімасці дадзенага правіла, метад Крамера рашэння сістэм лінейных ураўненняў можна выкарыстоўваць апасродкавана, напрыклад, з мэтай даследаваць сістэму на магчымы лік рашэнняў у залежнасці ад велічыні некаторага параметру k.

Прыклад 2. Вызначыць, пры якіх значэннях параметру k няроўнасць | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 мае роўна адно рашэнне.

Рашэнне.
Дадзенае няроўнасць у сілу вызначэння модуля функцыі можа быць выканана, толькі калі абодва выразы адначасова роўныя нулю. Таму гэтая задача зводзіцца да знаходжання рашэння лінейнай сістэмы алгебраічных раўнанняў

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Рашэнне дадзенай сістэмы адзінае, калі яе галоўны вызначальнік
Det = k ^ {2} + 1 выдатны ад нуля. Відавочна, што гэта ўмова выконваецца для ўсіх сапраўдных значэнняў параметру k.

Адказ: для ўсіх сапраўдных значэнняў параметру k.

Да задач гэтага віду таксама могуць быць зведзены многія практычныя задачы з вобласці матэматыкі, фізікі або хіміі.