Першая прыкмета роўнасці трохвугольнікаў. Другі і трэці прыкметы роўнасці трохвугольнікаў

Сярод велізарнай колькасці шматкутнікаў, якія па сутнасці з'яўляюцца замкнёнай непересекаемой ломанай лініяй, трохкутнік - гэта фігура з найменшай колькасцю кутоў. Іншымі словамі, гэта найпросты шматкутнік. Але, нягледзячы на ўсю сваю прастату, гэта постаць тоіць у сабе шмат загадак і цікавых адкрыццяў, якія асвятляюцца асаблівым раздзелам матэматыкі - геаметрыяй. Гэтую дысцыпліну ў школах пачынаюць выкладаць з сёмага класа, і тэме «Трыкутнік» тут надаецца асаблівая ўвага. Дзеці не толькі даведаюцца правілы пра самую постаці, але і параўноўваюць іх, вывучаючы 1, 2 і 3 прыкмета роўнасці трохвугольнікаў.

першае знаёмства

Адзін з першых правілаў, з якiм знаёмяцца школьнікі, гучыць прыкладна так: сума велічынь усіх кутоў трыкутніка складае 180 градусам. Каб гэта пацвердзіць, досыць пры дапамозе транспарціра вымераць кожную з вяршыняў і скласці ўсе атрыманыя значэння. Зыходзячы з гэтага, пры двух вядомых велічынях лёгка вызначыць трэцюю. Напрыклад: У трохкутніку адзін з кутоў роўны 70 °, а другі - 85 °, якая велічыня трэцяга кута?

180 - 85 - 70 = 25.

Адказ: 25 °.

Задачы могуць быць і больш складанымі, калі паказана толькі адно значэнне кута, а пра другую велічыню сказана толькі, на колькі або у колькі разоў яна больш ці менш.

У трохкутніку для вызначэння тых ці іншых яго асаблівасцяў могуць быць праведзены асаблівыя лініі, кожная з якіх мае сваю назву:

• вышыня - перпендыкулярная прамая, праведзеная з вяршыні да супрацьлеглым баку;
• усе тры вышыні, праведзеныя адначасова, у цэнтры фігуры перасякаюцца, утвараючы артацэнтрам, які ў залежнасці ад выгляду трыкутніка можа знаходзіцца як унутры, так і звонку;
• медыяна - лінія, якая злучае вяршыню з сярэдзінай процілеглага боку;
• скрыжаванне медыян з'яўляецца кропкай яго цяжару, знаходзіцца ўнутры фігуры;
• бісектрыса - лінія, якая праходзіць ад вяршыні да кропкі скрыжавання з процілеглага бокам, кропка перасячэння трох медыян з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.

Простыя ісціны аб трыкутніках

Трыкутнікі, як, уласна, і ўсё фігуры, маюць свае асаблівасці і ўласцівасці. Як ужо гаварылася, гэтая фігура з'яўляецца найпростым шматкутнікаў, але са сваімі характэрнымі прыкметамі:

• супраць самай доўгай боку заўсёды ляжыць кут з большай велічынёй, і наадварот;
• супраць роўных бакоў ляжаць роўныя куты, прыклад таму - роўнабаковы трохкутнік;
• сума ўнутраных кутоў заўсёды роўная 180 °, што ўжо было прадэманстравана на прыкладзе;
• пры падаўжэнні аднаго боку трохвугольніка за яго межы утворыцца вонкавы кут, які заўсёды будзе роўны суме вуглоў, з ім не сумежных;
• любая з бакоў заўсёды менш сумы двух іншых бакоў, але больш іх розніцы.

віды трохвугольнікаў

Наступны этап знаёмства заключаецца ў вызначэнні групы, да якой адносіцца прадстаўлены трохкутнік. Прыналежнасць да таго ці іншага ўвазе залежыць ад велічынь кутоў трыкутніка.

• Роўнабаковы - з двума роўнымі бакамі, якія называюць бакавымі, трэцяя ў гэтым выпадку выступае падставай фігуры. Куты ў падставы такога трыкутніка аднолькавыя, а медыяна, праведзеная з вяршыні, з'яўляецца Бісектрысай і вышынёй.
• Правільны, або роўнабаковага трыкутніка, - гэта той, у якога ўсе яго боку роўныя.
• Прастакутны: адзін з яго кутоў роўны 90 °. У гэтым выпадку бок, што насупраць гэтага кута, называецца гіпатэнузай, а дзве іншыя - катэтамі.
• Остроугольная трохкутнік - усе куты менш 90 °.
• Тупоугольный - адзін з кутоў больш 90 °.

Роўнасць і падабенства трыкутнікаў

У працэсе навучання не толькі разглядаюць асобна ўзятую постаць, але і параўноўваюць два трыкутніка. І гэтая, здавалася б, простая тэма мае масу правілаў і тэарэм, па якіх можна даказаць што разгляданыя фігуры - роўныя трыкутнікі. Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў маюць такое вызначэнне: трохвугольнікі роўныя, калі іх адпаведныя боку і куты аднолькавыя. Пры такім роўнасці, калі накласці гэтыя дзве постаці адзін на аднаго, усе іх лініі сыдуцца. Таксама фігуры могуць быць падобнымі, у прыватнасці, гэта тычыцца практычна аднолькавых фігур, якія адрозніваюцца толькі велічынёй. Для таго каб зрабіць такое заключэнне аб прадстаўленых трыкутніках, неабходна захаванне аднаго з наступных умоў:

• два кута адной фігуры роўныя двум кутах іншай;
• два бакі аднаго прапарцыйныя двум бакам другога трыкутніка, а велічыні кутоў, адукаваных бакамі, роўныя;
• тры бакі другой фігуры такія ж, як і ў першай.

Вядома, для бясспрэчнага роўнасці, якое не выкліча ні найменшага сумневу, неабходна мець аднолькавыя значэння ўсіх элементаў абедзвюх фігур, аднак з выкарыстаннем тэарэм задача значна спрашчаецца, і для доказу роўнасці трохвугольнікаў дапускаецца наяўнасць толькі некалькіх умоў.

Першая прыкмета роўнасці трохвугольнікаў

Задачы па гэтай тэме вырашаюцца на аснове доказы тэарэмы, якая гучыць так: "Калі два бакі трыкутніка і кут, які яны ўтвараюць, роўныя двух бакоў і вуглу іншага трыкутніка, то і фігуры таксама роўныя паміж сабой".

Як жа гучыць доказ тэарэмы пра першы прыкмета роўнасці трохвугольнікаў? Усім вядома, што два адрэзка роўныя, калі яны адной даўжыні, або акружнасці роўныя, калі маюць аднолькавы радыус. А ў выпадку з трыкутнікамі ёсць некалькі прыкмет, маючы якія, можна выказаць здагадку, што фігуры ідэнтычныя, што вельмі зручна выкарыстоўваць пры вырашэнні розных геаметрычных задач.

Як гучыць тэарэма «Першы прыкмета роўнасці трыкутнікаў», апісана вышэй, а вось яе доказ:

• Дапусцім, трыкутнікі АВС і А ₁ У ₁ З ₁ маюць аднолькавыя боку АВ і А ₁ У ₁ і, адпаведна, ВС і У ₁ З _1, а куты, якія ўтвараюцца гэтымі бакамі, маюць адну і тую ж велічыню, гэта значыць роўныя. Тады, наклаўшы △ ABC на △ А ₁ У ₁ З _1, атрымаем супадзенне ўсіх ліній і вяршыняў. Адсюль выцякае, што гэтыя трыкутнікі абсалютна ідэнтычныя, а значыць, роўныя паміж сабой.

Тэарэму «Першы прыкмета роўнасці трыкутнікаў» называюць яшчэ «Па двух бакоў і вуглу». Уласна, у гэтым і заключаецца яе сутнасць.

Тэарэма аб другім прыкмеце

Другі прыкмета роўнасці даказваецца аналагічна, доказ грунтуецца на тым, што пры накладанні фігур адзін на аднаго яны цалкам супадаюць па ўсіх вяршыняў і баках. А гучыць тэарэма так: "Калі адзін бок і два кута, у адукацыі якіх яна ўдзельнічае, адпавядаюць баку і двум кутах другога трыкутніка, то гэтыя фігуры ідэнтычныя, то ёсць роўныя".

Трэці прыкмета і доказ

Калі як 2, так і 1 прыкмета роўнасці трохвугольнікаў датычылася як бакоў, так і кутоў фігуры, то 3-ці ставіцца толькі да бакоў. Такім чынам, тэарэма мае наступную фармулёўку: "Калі ўсе бакі аднаго трыкутніка роўныя тром бакам другога трыкутніка, то фігуры ідэнтычныя".

Каб даказаць гэтую тэарэму, трэба больш дэталёва паглыбіцца ў само вызначэнне роўнасці. Па сутнасці, што азначае выраз «трыкутнікі роўныя»? Ідэнтычнасць кажа пра тое, што калі накласці адну фігуру на іншую, усе іх элементы супадуць, гэта можа быць толькі ў тым выпадку, калі іх боку і куты будуць роўныя. У той жа час кут, процілеглы адной з бакоў, якая такая ж, як у іншага трыкутніка, будзе роўны адпаведнай вяршыні другой фігуры. Варта адзначыць, што ў гэтым месцы доказ лёгка перавесці на 1 прыкмета роўнасці трохвугольнікаў. У выпадку, калі такая паслядоўнасць не назіраецца, роўнасць трыкутнікаў проста немагчыма, за выключэннем тых выпадкаў, калі фігура з'яўляецца люстраным адлюстраваннем першай.

прастакутныя трыкутнікі

У будынку такіх трыкутнікаў заўсёды ёсць вяршыні з велічынёй кута 90 °. Таму справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

• трыкутнікі з прамым вуглом роўныя, калі катэты аднаго ідэнтычныя катэты другога;
• фігуры роўныя, калі роўныя іх гіпатэнузы і адзін з катэт;
• такія трыкутнікі роўныя, калі іх катэты і востры кут ідэнтычныя.

Гэты прыкмета ставіцца да прастакутнага трыкутніка. Для доказу тэарэмы ўжываюць прыкладанне фігур адзін да аднаго, у выніку якога трыкутнікі складаюць катэтамі так, каб з двух прамых выйшаў разгорнуты кут з бакамі СА і СА _1.

практычнае прымяненне

У большасці выпадкаў на практыцы ўжываецца першая прыкмета роўнасці трохвугольнікаў. На самай справе такая, здавалася б, простая тэма 7 класа па геаметрыі і планіметрыі выкарыстоўваецца і для вылічэнні даўжыні, напрыклад, тэлефоннага кабеля без замераў мясцовасці, па якой ён будзе праходзіць. Пры дапамозе гэтай тэарэмы лёгка зрабіць неабходныя разлікі для вызначэння даўжыні выспы, які знаходзіцца пасярод ракі, ня пераплываючы на яго. Альбо ўмацаваць плот, размясціўшы планку ў пралёце так, каб яна дзяліла яго на два роўных трохвугольнік, ці ж разлічыць складаныя элементы працы ў сталярнай справе, або пры разліку кроквеннай сістэмы даху падчас будаўніцтва.

Першая прыкмета роўнасці трохвугольнікаў мае шырокае прымяненне ў рэальным «дарослай» жыцці. Хоць у школьныя гады менавіта гэтая тэма для многіх здаецца сумнай і цалкам непатрэбнай.