Фур'е, пераўтварэнне. Хуткае пераўтварэнне Фур'е. Дыскрэтнае пераўтварэнне Фур'е

Пераўтварэнне Фур'е - пераўтварэнне, супастаўляць функцыі нейкай рэчыўнай зменнай. Дадзеная аперацыя выконваецца кожны раз, калі мы ўспрымаем розныя гукі. Вуха вырабляе аўтаматычнае «вылічэнне», выканаць якую наша прытомнасць здольна толькі пасля вывучэння адпаведнага раздзела вышэйшай матэматыкі. Орган слыху ў чалавека будуе пераўтварэнне, у выніку якога гук (вагальны рух умоўных часціц у пругкім асяроддзі, якія распаўсюджваюцца ў хвалевым выглядзе ў цвёрдай, вадкай або газападобнай асяроддзі) прадастаўляецца ў выглядзе спектру паслядоўна якія ідуць значэнняў ўзроўню гучнасці тонаў рознай вышыні. Пасля гэтага мозг ператварае дадзеную інфармацыю ў звыклы ўсім гук.

Матэматычнае пераўтварэнне Фур'е

Пераўтварэнне гукавых хваль або іншых вагальных працэсаў (ад светлавога выпраменьвання і акіянскага прыліву і да цыклаў зорнай або сонечнай актыўнасці) можна праводзіць і з дапамогай матэматычных метадаў. Так, карыстаючыся дадзенымі прыёмамі, можна раскласці функцыі, прадставіўшы вагальныя працэсы наборам сінусоідных складнікаў, то ёсць хвалепадобных крывых, якія пераходзяць ад мінімуму да максімуму, затым зноў да мінімуму, падобна да марское хвалі. Пераўтварэнне Фур'е - пераўтварэнне, функцыя якога апісвае фазу або амплітуду кожнай сінусоіды, якая адказвае пэўнай частаце. Фаза ўяўляе сабой пачатковую кропку крывой, а амплітуда - яе вышыню.

Пераўтварэнне Фур'е (прыклады прыведзены на фота) з'яўляецца вельмі магутным інструментарыем, які ўжываецца ў разнастайных галінах навукі. У асобных выпадках ён выкарыстоўваецца ў якасці сродку вырашэння даволі складаных ураўненняў, якія апісваюць дынамічныя працэсы, якія ўзнікаюць пад уздзеяннем светлавой, цеплавой або электрычнай энергіі. У іншых выпадках ён дазваляе вызначаць рэгулярныя складнікі ў складаных вагальных сігналах, дзякуючы гэтаму можна дакладна інтэрпрэтаваць розныя эксперыментальныя назірання ў хіміі, медыцыне і астраноміі.

Гістарычная даведка

Першым чалавекам, ужыўшы дадзены метад, стаў французскі матэматык Жан Батыст Фур'е. Пераўтварэнне, названае пасля яго імем, першапачаткова выкарыстоўвалася для апісання механізму цеплаправоднасці. Фур'е ўсё сваё свядомае жыццё займаўся вывучэннем уласцівасцяў цяпла. Ён унёс вялікі ўклад у матэматычную тэорыю вызначэння каранёў алгебраічных раўнанняў. Фур'е з'яўляўся прафесарам аналізу ў Політэхнічнай школе, сакратаром Інстытута егіпталогіі, складаўся на імператарскай службе, на якой вызначыўся падчас будаўніцтва дарогі на Турын (пад яго кіраўніцтвам было асушана больш за 80 тысяч квадратных кіламетраў малярыйнай балот). Аднак уся гэтая актыўная дзейнасць не перашкодзіла навукоўцу займацца матэматычным аналізам. У 1802 годзе ім было выведзена раўнанне, якое апісвае распаўсюджванне цяпла ў цвёрдых целах. У 1807 году навуковец адкрыў метад рашэння дадзенага ўраўненні, якое і атрымала назву "пераўтварэнне Фур'е".

аналіз цеплаправоднасці

Вучоны ужыў матэматычны метад для апісання механізму цеплаправоднасці. Зручным прыкладам, у якім не ўзнікае цяжкасцей з вылічэннем, з'яўляецца распаўсюджванне цеплавой энергіі па жалезным кольцы, пагружаных адной часткай у агонь. Для правядзення досведаў Фур'е напальваецца дачырвана частка гэтага кольца і закопваў яго ў дробны пясок. Пасля гэтага праводзіў замеры тэмпературы на супрацьлеглым яго часткі. Першапачаткова размеркаванне цяпла з'яўляецца нерэгулярным: частка кальца - халодная, а іншая - гарачая, паміж дадзенымі зонамі можна назіраць рэзкі градыент тэмпературы. Аднак у працэсе распаўсюджвання цяпла па ўсёй паверхні металу яна становіцца больш раўнамернай. Так, неўзабаве дадзены працэс набывае выгляд сінусоіды. Спачатку графік плаўна нарастае і гэтак жа плаўна меншае, сапраўды па законах змены функцыі косінуса або сінуса. Хваля паступова выраўноўваецца і ў выніку тэмпература становіцца аднолькавай на ўсёй паверхні кольцы.

Аўтар дадзенага метаду выказаў здагадку, што пачатковая нерэгулярнае размеркаванне цалкам можна раскласці на шэраг элементарных сінусоід. Кожная з іх будзе мець сваю фазу (першапачатковае становішча) і свой тэмпературны максімум. Пры гэтым кожная такая кампанента змяняецца ад мінімуму да максімуму і назад на поўным абароце вакол кольцы цэлае колькасць разоў. Складнік, якая мае адзін перыяд, была названая асноўнай гармоніка, а значэнне з двума і больш перыядамі - другі і гэтак далей. Так, матэматычная функцыя, якая апісвае тэмпературны максімум, фазу ці пазіцыю называе пераўтварэннем Фур'е ад функцыі размеркавання. Вучоны звёў адзіную складнік, якая цяжка паддаецца матэматычнаму апісанні, да зручнага ў звароце інструменту - шэрагах косінуса і сінуса, у суме які дае зыходнае размеркаванне.

сутнасць аналізу

Ужываючы дадзены аналіз да пераўтварэння распаўсюджвання цяпла па цвёрдым прадмеце, які мае кальцавую форму, матэматык разважыў, што павышэнне перыядаў сінусоіднай кампаненты прывядзе да яе хуткаму згасання. Гэта добра прасочваецца на асноўны і другі гармоніках. У апошняй тэмпература двойчы дасягае максімальнага і мінімальнага значэнняў на адным праходзе, а ў першай - толькі адзін раз. Атрымліваецца, што адлегласць, пераадольвалі цяплом ў другой гармоніку, будзе ўдвая менш, чым у асноўнай. Акрамя таго, градыент ў другой таксама будзе ўдвая строме, чым у першай. Такім чынам, паколькі больш інтэнсіўны цеплавой паток праходзіць адлегласць ўдаве меншае, то дадзеная гармонік будзе згасаць у чатыры разы хутчэй, чым асноўная, як функцыя часу. У наступных дадзены працэс будзе праходзіць яшчэ хутчэй. Матэматык лічыў, што дадзены метад дазваляе разлічыць працэс першапачатковага размеркавання тэмпературы ў часе.

выклік сучаснікам

Алгарытм пераўтварэння Фур'е стаў выклікам тэарэтычным асновам матэматыкі таго часу. У пачатку дзевятнаццатага стагоддзя большасць выбітных навукоўцаў, у тым ліку і Лагранжа, Лаплас, Пуасона, Лежандр і Бія, не прынялі яго сцвярджэнне аб тым, што пачатковая размеркаванне тэмпературы раскладваецца на складнікі ў выглядзе асноўны гармонікі і больш высокачашчынныя. Аднак акадэмія навук не магла праігнараваць вынікі, атрыманыя матэматыкам, і ганаравала яго прэміі за тэорыю законаў цеплаправоднасці, а таксама правядзенне параўнання яе з фізічнымі эксперыментамі. У падыходзе Фур'е галоўнае пярэчанне выклікаў той факт, што разрыўная функцыя прадстаўлена сумай некалькіх сінусоідных функцый, якія з'яўляюцца бесперапыннымі. Бо яны апісваюць разрываць прамыя і крывыя лініі. Сучаснікі вучонага ніколі не сутыкаліся з падобнай сітуацыяй, калі разрыўныя функцыі апісваліся камбінацыяй бесперапынных, такіх як квадратычнай, лінейная, сінусоіда альбо экспаненты. У тым выпадку, калі матэматык меў рацыю ў сваіх сцвярджэннях, то сума бясконцага шэрагу трыганаметрычнай функцыі павінна зводзіцца да дакладнай ступеністай. У той час падобнае сцвярджэнне здавалася абсурдным. Аднак, нягледзячы на сумневы, некаторыя даследчыкі (напрыклад Клод Навье, Сафі Жэрмэн) пашырылі сферу даследаванняў і вывелі іх за межы аналізу размеркавання цеплавой энергіі. А матэматыкі тым часам працягвалі мучыцца пытаннем аб тым, ці можа сума некалькіх сінусоідных функцый зводзіцца да дакладнага прадстаўленні разрыўной.

200-гадовая гісторыя

Дадзеная тэорыя развівалася на працягу двух стагоддзяў, на сённяшні дзень яна канчаткова сфармавалася. З яе дапамогай прасторавыя або часовыя функцыі разбіваюцца на сінусоідныя складнікі, якія маюць сваю частату, фазу і амплітуду. Дадзенае пераўтварэнне атрымліваецца двума рознымі матэматычнымі метадамі. Першы з іх ужываецца ў тым выпадку, калі зыходная функцыя з'яўляецца бесперапыннай, а другі - у тым выпадку, калі яна прадстаўлена мноствам дыскрэтных асобных змяненняў. Калі выраз атрымана з значэнняў, якія вызначаны дыскрэтнымі інтэрваламі, то яго можна разбіць на некалькі сінусоідных выразаў з дыскрэтнымі частотамі - ад найбольш нізкай і далей ўдвая, утрая і гэтак далей вышэй асноўнай. Такую суму прынята называць побач Фур'е. Калі пачатковае выраз зададзена значэннем для кожнага сапраўднага ліку, то яго можна раскласці на некалькі сінусоідных усіх магчымых частот. Яго прынята называць інтэгралам Фур'е, а рашэнне мае на ўвазе пад сабой інтэгральныя пераўтварэння функцыі. Незалежна ад спосабу атрымання пераўтварэнні, для кожнай частоты варта паказваць два ліку: амплітуду і частату. Дадзеныя значэння выяўляюцца ў выглядзе адзінага комплекснага ліку. Тэорыя выразаў комплексных зменных сумесна з пераўтварэннем Фур'е дазволіла праводзіць вылічэнні пры канструяванні розных электрычных ланцугоў, аналіз механічных ваганняў, вывучэнне механізму распаўсюджвання хваль і іншае.

Пераўтварэнне Фур'е сёння

У нашы дні вывучэнне дадзенага працэсу ў асноўным зводзіцца да знаходжання эфектыўных метадаў пераходу ад функцыі да яе пераўтварылі ўвазе і назад. Такое рашэнне называецца прамое і адваротнае пераўтварэнне Фур'е. Што гэта значыць? Для таго каб вызначыць інтэграл і вырабіць прамое пераўтварэнне Фур'е, можна скарыстацца матэматычнымі метадамі, а можна і аналітычнымі. Нягледзячы на тое што пры іх выкарыстанні на практыцы ўзнікаюць пэўныя цяжкасці, большасць інтэгралаў ўжо знойдзеныя і ўнесены ў матэматычныя даведнікі. З дапамогай лікавых метадаў можна разлічваць выразы, форма якіх грунтуецца на Эксперыментальная інфармацыя, альбо функцыі, інтэгралы якіх у табліцах адсутнічаюць і іх складана прадставіць у аналітычнай форме.

Да з'яўлення вылічальнай тэхнікі разлікі такіх пераўтварэнняў былі вельмі стомнымі, яны патрабавалі ручнога выканання вялікай колькасці арыфметычных аперацый, якія залежалі ад колькасці кропак, якія апісваюць хвалевую функцыю. Для палягчэння разлікаў сёння існуюць спецыяльныя праграмы, якія дазволілі рэалізаваць новыя аналітычныя метады. Так, у 1965 году Джэймс Кулі і Джон Тьюк стварылі праграмнае забеспячэнне, якое атрымала вядомасць як «хуткае пераўтварэнне Фур'е». Яно дазваляе эканоміць час правядзення разлікаў за кошт змяншэння колькасці множання пры аналізе крывой. Метад «хуткае пераўтварэнне Фур'е» заснаваны на дзяленні крывой на вялікі лік раўнамерных выбарачных значэнняў. Адпаведна колькасць множання зніжаецца ўдвая пры такім жа зніжэнні колькасці кропак.

Прымяненне пераўтварэння Фур'е

Дадзены працэс выкарыстоўваецца ў розных галінах навукі: у тэорыі лікаў, фізіцы, апрацоўцы сігналаў, камбінаторыцы, тэорыі верагоднасці, крыптаграфіі, статыстыцы, акеаналогія, оптыцы, акустыцы, геаметрыі і іншых. Багатыя магчымасці яго прымянення заснаваныя на шэрагу карысных асаблівасцяў, якія атрымалі назву "ўласцівасці пераўтварэння Фур'е". Разгледзім іх.

1. Пераўтварэнне функцыі з'яўляецца лінейным аператарам і з адпаведнай нармалізацыяй з'яўляецца унітарным. Дадзеная ўласцівасць вядома як тэарэма Парсеваля, або ў агульным выпадку тэарэма Планшереля, або дуалізм Понтрягина.

2. Пераўтварэнне з'яўляецца зварачальным. Прычым зваротны вынік мае практычна аналагічную форму, як і пры прамым вырашэнні.

3. сінусоідных базавыя выразы з'яўляюцца ўласнымі дыферэнцыяванымі функцыямі. Гэта азначае, што такое ўяўленне змяняе лінейныя ўраўненні з пастаянным каэфіцыентам ў звычайныя Алгебраічныя.

4. Згодна з тэарэме «скруткі», дадзены працэс ператварае складаную аперацыю ў элементарнае множанне.

5. Дыскрэтнай пераўтварэнне Фур'е можа быць хутка разлічана на кампутары з выкарыстаннем «хуткага» метаду.

Разнавіднасці пераўтварэння Фур'е

1. Найбольш часта дадзены тэрмін выкарыстоўваецца для абазначэння бесперапыннага пераўтварэнні, які прадастаўляе любы квадратычна інтэгруемае выраз у выглядзе сумы комплексных паказальных выразаў з канкрэтнымі вуглавымі частотамі і амплітуда. Дадзены выгляд мае некалькі розных формаў, якія могуць адрознівацца пастаяннымі каэфіцыентамі. Бесперапынны метад ўключае ў сябе табліцу пераўтварэнняў, якую можна знайсці ў матэматычных даведніках. Абагульненым выпадкам з'яўляецца дробавую пераўтварэнне, з дапамогай якога дадзены працэс можна ўзвесці ў неабходную рэчыўных ступень.

2. Бесперапынны спосаб з'яўляецца абагульненнем ранняй методыкі шэрагаў Фур'е, вызначаных для розных перыядычных функцый ці выразаў, якія існуюць у абмежаванай вобласці і прадстаўляюць іх як шэрагі сінусоід.

3. Дыскрэтнай пераўтварэнне Фур'е. Гэты метад выкарыстоўваецца ў кампутарнай тэхніцы для правядзення навуковых разлікаў і для лічбавай апрацоўкі сігналаў. Для правядзення гэтага віду разлікаў патрабуецца мець функцыі, якія вызначаюць на дыскрэтным мностве асобныя кропкі, перыядычныя або абмежаваныя вобласці замест бесперапынных інтэгралаў Фур'е. Пераўтварэнне сігналу ў такім выпадку прадстаўлена як сума сінусоід. Пры гэтым выкарыстанне «хуткага» метаду дазваляе ўжываць дыскрэтныя рашэнні для любых практычных задач.

4. аконнымі пераўтварэнне Фур'е з'яўляецца абагульненым выглядам класічнага метаду. У адрозненне ад стандартнага рашэння, калі выкарыстоўваецца спектр сігналу, які ўзяты ў поўным дыяпазоне існавання дадзенай зменнай, тут асаблівую цікавасць уяўляе ўсяго толькі лакальнае размеркаванне частоты пры ўмове захавання першапачатковай зменнай (час).

5. двухмернымі пераўтварэнне Фур'е. Дадзены метад выкарыстоўваецца для працы з двухмернымі масівамі дадзеных. У такім выпадку спачатку пераўтварэнне вырабляецца ў адным кірунку, а затым - у іншым.

заключэнне

Сёння метад Фур'е трывала замацаваўся ў розных галінах навукі. Напрыклад, у 1962 годзе была адкрыта форма двайны ДНК-спіралі з выкарыстаннем аналізу Фур'е ў спалучэнні з дыфракцыі рэнтгенаўскіх прамянёў. Апошнія факусаваліся на крышталях валокнаў ДНК, у выніку малюнак, якое атрымлівалася пры дыфракцыі выпраменьвання, фіксаваліся на плёнцы. Дадзеная карцінка дала інфармацыю пра значэнне амплітуды пры выкарыстанні пераўтварэння Фур'е да дадзенай крышталічнай структуры. Дадзеныя аб фазе атрымалі шляхам супастаўлення дыфракцыйнай карты ДНК з картамі, якія атрыманы пры аналізе падобных хімічных структур. У выніку біёлагі аднавілі крышталічную структуру - зыходную функцыю.

Пераўтварэння Фур'е гуляюць велізарную ролю ў вывучэнні касмічнай прасторы, фізікі паўправадніковых матэрыялаў і плазмы, мікрахвалевай акустыцы, акіянаграфіі, радыёлакацыі, сейсмалогіі і медыцынскіх абследаваннях.