Лікавая паслядоўнасць: паняцце, якасць, метады заданні

Лікавая паслядоўнасць і яе мяжа ўяўляюць сабой адну з найважнейшых праблем матэматыкі на працягу ўсёй гісторыі існавання гэтай навукі. Стала якія папаўняюцца веды, несфармуляваныя новыя тэарэмы і доказы - усё гэта дазваляе разглядаць дадзенае паняцце з новых пазіцый і пад розным вуглом гледжання.

Лікавая паслядоўнасць, у адпаведнасці з адным з самых распаўсюджаных вызначэнняў, уяўляе сабой матэматычную функцыю, падставай якой служыць мноства натуральных лікаў, якія размяшчаюцца згодна той ці іншай заканамернасці.

Гэтая функцыя можа лічыцца пэўнай, калі вядомы закон, у адпаведнасці з якім для кожнага натуральнага ліку можна дакладна вызначыць сапраўдны лік.

Існуе некалькі варыянтаў стварэння лікавых паслядоўнасцяў.

Па-першае, гэтая функцыя можа быць зададзена так званым «відавочным» спосабам, калі маецца пэўная формула, пры дапамозе якой кожны яе член можа быць вызначаны просты падстаноўкі парадкавага нумара ў зададзеную паслядоўнасць.

Другі спосаб атрымаў назву «реккурентного». Яго сутнасць складаецца ў тым, што задаюцца некалькі першых членаў лікавай паслядоўнасці, а таксама спецыяльная реккурентная формула, з дапамогай якой, ведаючы папярэдні член, можна знайсці наступны.

Нарэшце, найбольш агульным спосабам заданні паслядоўнасцяў з'яўляецца так званы "аналітычны метад", калі без адмысловай працы можна не толькі выявіць той ці іншы член пад вызначаным парадкавым нумарам, але і, ведаючы некалькі паслядоўных членаў, прыйсці да агульнай формуле дадзенай функцыі.

Лікавая паслядоўнасць можа быць меншае або нарастаючым. У першым выпадку кожны наступнай яе член менш за папярэдні, а ў другім - наадварот, больш.

Разглядаючы дадзеную тэму, нельга не закрануць пытанне пра межы паслядоўнасцяў. Мяжою паслядоўнасці называецца такі лік, калі для любой, у тым ліку для бясконца малой велічыні, існуе парадкавы нумар, пасля якога ўхіленне наступных адзін за адным членаў паслядоўнасці ад зададзенай кропкі ў лікавым выглядзе становіцца менш велічыні, зададзенай яшчэ пры фарміраванні гэтай функцыі.

Паняцце мяжы лікавай паслядоўнасці актыўна выкарыстоўваецца пры правядзенні тых ці іншых інтэгральных і дыферэнцыяльных злічэння.

Матэматычныя паслядоўнасці валодаюць цэлым наборам досыць цікавых уласцівасцяў.

Па-першае, любая лікавая паслядоўнасць ёсць прыклад матэматычнай функцыі, такім чынам, тыя ўласцівасці, якія характэрныя для функцый, можна смела ўжываць і для паслядоўнасцяў. Самым яркім прыкладам такіх уласцівасцяў з'яўляецца палажэнне аб ўзрастаючых і змяншальных арыфметычных шэрагах, якія аб'ядноўваюцца адным агульным паняццем - манатонныя паслядоўнасці.

Па-другое, існуе дастаткова вялікая група паслядоўнасцяў, якія нельга аднесці ні да нарастальных, ні да убываючым, - гэта перыядычныя паслядоўнасці. У матэматыцы імі прынята лічыць тыя функцыі, у якіх існуе так званая даўжыня перыяду, гэта значыць з пэўнага моманту (n) пачынае дзейнічаць наступнае роўнасць y _n = y _{n + T,} дзе Т і будзе з'яўляцца той самай даўжынёй перыяду.