Высновы Дирака. Раўнанне Дирака. Квантавая тэорыя поля

Дадзены артыкул прысвечана працы Палі Дирака, раўнанне якога значна ўзбагаціла квантавую механіку. Яна апісвае асноўныя паняцці, неабходныя для таго, каб разабрацца ў фізічным сэнсе ўраўненні, а таксама спосабы яго прымянення.

Навука і навукоўцы

Чалавек, не звязаны з навукай, уяўляе працэс здабычы ведаў нейкім магічным дзеяннем. А навукоўцы, на думку такіх людзей, - гэта дзівакі, якія кажуць на незразумелай мове і злёгку пыхлівыя. Знаёмячыся з даследчыкам, далёкі ад навукі чалавек адразу кажа, што ён у школе фізіку не разумеў. Такім чынам абывацель адгароджваецца ад навуковага веды і просіць больш адукаванага суразмоўцы казаць простай і зразумелай. Напэўна Палі Дирака, раўнанне якога мы разглядаем, віталі гэтак жа.

элементарныя часціцы

Будова рэчыва заўсёды хвалявала дапытлівыя розумы. У Старажытнай Грэцыі людзі заўважылі, што мармуровыя прыступкі, па якіх прайшло мноства ног, з часам мяняюць форму, і выказалі здагадку: кожная ступня або сандаля выносіла з сабой малюсенькую часціцу рэчывы. Гэтыя элементы вырашылі назваць «атамамі», гэта значыць «непадзельнымі». Найменне засталося, але высветлілася, што і атамы, і часціцы, з якіх складаюцца атамы, - таксама складовыя, складаныя. Гэтыя часціцы называюцца элементарнымі. Менавіта ім прысвечана праца Дирака, раўнанне якога дазволіла не толькі растлумачыць спін электрона, але і выказаць здагадку наяўнасць антиэлектрона.

Карпускулярна-хвалевай дуалізм

Развіццё тэхнікі фатаграфіі ў канцы дзевятнаццатага стагоддзя пацягнула за сабой не толькі моду на захаванага сябе, ежы і катоў, але і прасунула магчымасці навукі. Атрымаўшы такі зручны інструмент, як хуткая фатаграфія (нагадаем, раней вытрымкі даходзілі да 30-40 хвілін), навукоўцы сталі масава фіксаваць разнастайныя спектры.

Існуючыя на той момант тэорыі будовы рэчываў не маглі адназначна растлумачыць або прадказаць спектры складаных малекул. Спачатку знакаміты вопыт Рэзерфорда даказаў, што атам не такі ўжо непадзельны: у яго цэнтры знаходзілася цяжкае станоўчае ядро, вакол якога размяшчаліся лёгкія адмоўныя электроны. Потым адкрыццё радыёактыўнасці даказала, што і ядро ня маналіт, а складаецца з пратонаў і нейтронаў. А далей амаль адначасовае адкрыццё кванта энергіі, прынцыпу нявызначанасці Гейзенберга і імавернаснай прыроды месцазнаходжаньня элементарных часціц далі штуршок да развіцця прынцыпова іншага навуковага падыходу да вывучэння навакольнага свету. З'явіўся новы раздзел - фізіка элементарных часціц.

Асноўным пытаннем на світанку гэтага стагоддзя вялікіх адкрыццяў у звышмалых маштабах стала тлумачэнне наяўнасці ў элементарных часціц і масы, і ўласцівасцяў хвалі.

Эйнштэйн даказаў, што нават няўлоўны фатон валодае масай, так як перадае імпульс цвёрдым целе, на які падае (з'ява ціску святла). Пры гэтым шматлікія досведы па рассейванне электронаў на шчылінах казалі як мінімум аб наяўнасцi ў iх дыфракцыі і інтэрферэнцыі, гэта ўласціва толькі хвалі. У выніку прыйшлося прызнаць: элементарныя часціцы адначасова і аб'ект з масай, і хваля. Гэта значыць маса, скажам, электрона як бы «размазаная» у пакет энергіі з хвалевымі ўласцівасцямі. Гэты прынцып карпускулярна-хвалевага дуалізму дазволіў растлумачыць перш за ўсё, чаму электрон не падае на ядро, а таксама па якіх прычынах у атаме існуюць арбіты, а пераходы паміж імі скачкападобныя. Гэтыя пераходы і спараджаюць спектр, унікальны для любога рэчыва. Далей фізіка элементарных часціц павінна была растлумачыць ўласцівасці саміх часціц, а таксама іх узаемадзеянне.

Хвалевая функцыя і квантавыя колькасці

Эрвін Шредингер здзейсніў дзіўнае і да гэтага часу мала зразумелае адкрыццё (на яго падставе крыху пазней Поль Дирак пабудаваў сваю тэорыю). Ён даказаў, што стан любой элементарнай часціцы, напрыклад, электрона апісвае хвалевая функцыя ψ. Сама па сабе яна нічога не значыць, а вось яе квадрат пакажа верагоднасць знайсці электрон ў дадзеным месцы прасторы. Пры гэтым стан элементарнай часціцы ў атаме (ці іншай сістэме) апісваецца чатырма квантавымі лікамі. Гэта галоўнае (n), арбітальнае (l), магнітнае (m) і спінавай _(m s) чысла. Яны паказваюць ўласцівасці элементарнай часціцы. Як аналогію можна прывесці брусок алею. Яго характарыстыкі - маса, памер, колер і тлустасць. Аднак ўласцівасці, якія апісваюць элементарныя часціцы, нельга зразумець інтуітыўна, іх трэба ўсведамляць праз матэматычнае апісанне. Праца Дирака, раўнанне якога - у цэнтры ўвагі гэтага артыкула, прысвечана апошняму, спінавай ліку.

спін

Перш чым перайсці непасрэдна да раўнанні, неабходна растлумачыць, што ж пазначае спінавай лік _m s. Яно паказвае уласны момант імпульсу электрона і іншых элементарных часціц. Гэты лік заўсёды станоўча і можа прымаць цэлае значэнне, нуль ці полуцелое значэнне (для электрона _m s = 1/2). Спін - велічыня вектарная і адзіная, якая апісвае арыентацыю электрона. Квантавая тэорыя поля кладзе спін ў аснову абменнага ўзаемадзеяння, якому няма ніякага аналага ў звычайна інтуітыўна зразумелай механіцы. Спінавай лік паказвае, якім чынам павінен павярнуцца вектар, каб прыйсці ў першапачатковы стан. Прыкладам можа служыць звычайная шарыкавая ручка (пішучая частка хай будзе станоўчым напрамкам вектара). Каб яна прыйшла ў першапачатковы стан, яе трэба павярнуць на 360 градусаў. Такая сітуацыя адпавядае спіну, роўнаму 1. Пры спіне 1/2, як у электрона, паварот павінен быць 720 градусаў. Так што, акрамя матэматычнага нюху, трэба мець развітая прасторавае мысленне, каб зразумець гэта ўласцівасць. Ледзь вышэй ішла гаворка аб хвалевай функцыі. Яна з'яўляецца асноўным "дзейснай асобай» ўраўненні Шредингера, з дапамогай якога апісваецца стан і становішча элементарнай часціцы. Але гэтыя суадносіны ў сваім першапачатковым выглядзе прызначана для часціц без спіна. Апісаць стан электрона можна, толькі калі правесці абагульненне ўраўненні Шредингера, што і было зроблена ў працы Дирака.

Базоны і фермионы

Фермион - часціца з полуцелым значэннем спіна. Фермионы размяшчаюцца ў сістэмах (напрыклад атамах) паводле прынцыпу Паўлі: у кожным стане павінна быць не больш за адну часціцы. Такім чынам, у атаме кожны электрон чымсьці адрозніваецца ад усіх астатніх (нейкі квантавы лік мае іншае значэнне). Квантавая тэорыя поля апісвае і іншы выпадак - базоны. Яны маюць цэлы спін і могуць усе адначасова быць у адным стане. Рэалізацыя гэтага выпадку называе Базэ-кандэнсацыяй. Нягледзячы на дастаткова добра пацверджаную тэарэтычную магчымасць яго атрымаць, практычна гэта ажыццявілі толькі ў 1995 годзе.

раўнанне Дирака

Як мы ўжо казалі вышэй, Поль Дирак вывеў раўнанне класічнага поля электрона. Яно таксама апісвае стану іншых фермионов. Фізічны сэнс суадносін складзены і шматгранны, і з яго формы варта шмат фундаментальных высноў. Выгляд ўраўненні наступны:

- (mc ² α ₀ + c Σ a _k p _k {k = 0-3}) ψ (x, t) = i ħ {∂ ψ / ∂ t (x, t)},

дзе m - маса фермиона (у прыватнасці электрона), з - хуткасць святла, _p k - тры аператара кампанент імпульсу (па восях x, y, z), ħ - зрэзаная пастаянная Планка, x і t - тры прасторавыя каардынаты (адпавядаюць восях X , Y, Z) і час, адпаведна, і ψ (x, t) - четырёхкомпонентная комплексная хвалевая функцыя, α _k (k = 0, 1, 2, 3) - матрыцы Паўлі. Апошнія ўяўляюць сабой лінейныя аператары, якія дзейнічаюць на хвалевую функцыю і яе прастору. Формула гэтая даволі складаная. Каб зразумець хоць бы яе кампаненты, трэба разбірацца ў асноўных вызначэннях квантавай механікі. Таксама варта валодаць незвычайнымі матэматычнымі ведамі, каб як мінімум ведаць, што такое вектар, матрыца і аператар. Спецыяліста выгляд ўраўненні скажа яшчэ больш, чым яго кампаненты. Чалавек, абазнаны ў ядзернай фізіцы і знаёмы з квантавай механікай, зразумее важнасць гэтага суадносіны. Аднак трэба прызнацца, што ўраўненні Дирака і Шредингера - усяго толькі элементарныя асновы матэматычнага апісання працэсаў, якія адбываюцца ў свеце квантавых велічынь. Фізікі-тэарэтыкі, якія вырашылі прысвяціць сябе элементарным часціцам і іх ўзаемадзеянню, павінны разумець сутнасць гэтых суадносін на першым-другім курсах інстытута. Але навука гэтая займальная, і менавіта ў гэтай галіне можна здзейсніць прарыў або ўвекавечыць сваё імя, прысвоіўшы яго раўнанні, пераўтварэнню або ўласцівасці.

Фізічны сэнс ўраўненні

Як мы і абяцалі, расказваем, якія высновы тоіць раўнанне Дирака для электрона. Па-першае, з гэтага суадносіны становіцца ясна, што спін электрона роўны ½. Па-другое, згодна з раўнанні, у электрона ёсць уласны магнітны момант. Ён роўны магнетонов Бора (адзінка элементарнага магнітнага моманту). Але самы галоўны вынік атрымання гэтых суадносін крыецца ў непрыкметным аператары _α k. Выснова ўраўненні Дирака з раўнання Шредингера заняў шмат часу. Спачатку Дирак думаў, што гэтыя аператары перашкаджаюць суадносінах. З дапамогай розных матэматычных хітрыкаў ён спрабаваў выключыць іх з раўнання, але яму гэта не ўдалося. У выніку раўнанне Дирака для свабоднай часціцы змяшчае чатыры аператары α. Кожны з іх уяўляе сабой матрыцу [4x4]. Два адпавядаюць станоўчай масе электрона, што даказвае наяўнасць двух палажэнняў яго спіна. Іншыя ж два даюць рашэнне для адмоўнай масы часціцы. Самыя простыя пазнання ў фізіцы прадастаўляюць чалавеку магчымасць заключыць, што гэта немагчыма ў рэальнасці. Але ў выніку эксперыменту высветлілася, што апошнія дзве матрыцы з'яўляюцца рашэннямі для існуючай часціцы, процілеглага электронных - антиэлектрону. Як і электрон, пазітронна (так назвалі гэтую часціцу) валодае масай, але яго зарад дадатны.

пазітронна

Як часта бывала ў эру квантавых адкрыццяў, Дирак спачатку не паверыў ўласным высновы. Ён не адважыўся адкрыта апублікаваць прадказанне новай часціцы. Праўда, у мностве артыкулаў і на розных сімпозіумах навуковец падкрэсліваў магчымасць яе існавання, хоць і не пастуляваць гэта. Але неўзабаве пасля вываду гэтага знакамітага суадносін пазітронна быў знойдзены ў складзе касмічнага выпраменьвання. Такім чынам, яго існаванне было пацверджана эмпірычнаму. Пазітронна - першы знойдзены людзьмі элемент антыматэрыі. Пазітронна нараджаецца як адзін з блізнят пары (іншы блізнюк - гэта электрон) пры ўзаемадзеянні фатонаў вельмі высокай энергіі з ядрамі матэрыі у моцным электрычным полі. Прыводзіць лічбы мы не будзем (зацікаўлены чытач і сам знойдзе ўсю патрэбную інфармацыю). Аднак варта падкрэсліць, што гаворка ідзе пра касмічныя маштабах. Вырабіць фатоны патрэбнай энергіі здольныя толькі выбухі звышновых і сутыкненні галактык. Таксама яны ў некаторай колькасці ўтрымліваюцца ў ядрах гарачых зорак, у тым ліку Сонца. Але чалавек заўсёды імкнецца да сваёй выгадзе. Анігіляцыі матэрыі з антыматэрыі дае шмат энергіі. Каб утаймаваць гэты працэс і пусціць яго на карысць чалавецтва (напрыклад, эфектыўнымі былі б рухавікі міжзоркавых лайнераў на анігіляцыі), людзі навучыліся вырабляць пратоны ў лабараторных умовах.

У прыватнасці, вялікія паскаральнікі (тыпу адроннага коллайдера) могуць ствараць пары электрон-пазітронна. Раней таксама выказваліся здагадкі, што існуюць не толькі элементарныя антычасцінка (акрамя электрона іх яшчэ некалькі), але і цэлая антыматэрыі. Нават зусім невялікі кавалачак любога крышталя з антырэчыва забяспечыў бы энергіяй ўсю планету (можа быць, крыптону супермэна быў антыматэрыі?).

Але нажаль, стварэнне антыматэрыі цяжэй ядраў вадароду ў агляднай сусвету задакументавана не было. Аднак калі чытач думае, што ўзаемадзеянне рэчывы (падкрэслім, менавіта рэчывы, а не асобна ўзятага электрона) з пазітронна адразу сканчаецца анігіляцыі, то ён памыляецца. Пры тармажэнні пазітронна з высокай хуткасцю ў некаторых вадкасцях з ненулявое верагоднасцю ўзнікае звязаная пара электрон-пазітронна, якая называецца пазітронна. Гэта адукацыя мае некаторыя ўласцівасці атама і нават здольна ўступаць у хімічныя рэакцыі. Але існуе гэты далікатны тандэм нядоўга і потым усё роўна аннигилирует з выпусканнем двух, а ў некаторых выпадках і трох гама-квантаў.

недахопы ўраўненні

Нягледзячы на тое што дзякуючы гэтаму суадносінах быў знойдзены антиэлектрон і антыматэрыі, яно мае істотны недахоп. Запіс ўраўненні і мадэль, пабудаваная на яго аснове, не здольныя прадказаць, як нараджаюцца і знішчаюцца часціцы. Гэта своеасаблівая іронія квантавага свету: тэорыя, прадказаць нараджэнне пар матэрыя-антыматэрыі, не здольная адэкватна апісаць гэты працэс. Дадзены недахоп быў ліквідаваны ў квантавай тэорыі поля. Шляхам увядзення квантавання палёў гэтая мадэль апісвае іх узаемадзеянне, у тым ліку нараджэнне і знішчэнне элементарных часціц. Пад «квантавай тэорыяй поля» у дадзеным выпадку маецца на ўвазе зусім канкрэтны тэрмін. Гэта вобласць фізікі, якая вывучае паводзіны квантавых палёў.

Раўнанне Дирака у цыліндрычных каардынатах

Для пачатку паведамім, што такое цыліндрычная сістэма каардынат. Замест звыклых трох узаемна перпендыкулярных восяў для вызначэння дакладнага месцазнаходжання кропкі ў прасторы выкарыстоўваюцца кут, радыус і вышыня. Гэта тое ж самае, што палярная сістэма каардынатаў на плоскасці, толькі дадаецца трэцяе вымярэнне - вышыня. Гэтая сістэма зручная, калі патрабуецца апісаць або даследаваць некаторую паверхню, сіметрычную адносна адной з восяў. Для квантавай механікі гэта вельмі карысны і зручны інструмент, які дазваляе значна скараціць памер формул і колькасць вылічэнняў. Гэта следства восевасіметрычныя электроннага воблака ў атаме. Раўнанне Дирака у цыліндрычных каардынатах вырашаецца некалькі інакш, чым у звыклай сістэме, і дае часам нечаканыя вынікі. Напрыклад, некаторыя прыкладныя задачы па вызначэнні паводзін элементарных часціц (часцей за ўсё электронаў) у квантованном поле вырашаліся пераўтварэннем выгляду ўраўненні да цыліндрычным каардынатах.

Выкарыстанне ўраўненні для вызначэння будовы часціц

Гэта роўнасць апісвае простыя часціцы: такія, якія не складаюцца з яшчэ больш дробных элементаў. Сучасная навука здольная вымяраць магнітныя моманты з досыць высокай дакладнасцю. Такім чынам, неадпаведнасць палічыць з дапамогай ўраўненні Дирака значэння змеранай эксперыментальна магнітнаму моманту будзе ўскосна сведчыць аб складаным будынку часціцы. Нагадаем, гэта роўнасць дастасавальна да фермионам, іх спін полуцелый. З дапамогай гэтага раўнання была пацверджана складаная структура пратонаў і нейтронаў. Кожны з іх складаецца з яшчэ больш дробных элементаў, якія называюцца кваркаў. Глюонную поле трымае кварк разам, не даючы ім рассыпацца. Існуе тэорыя, што і кварк - гэта не самыя элементарныя часціцы нашага свету. Але пакуль у людзей не хапае тэхнічнай моцы, каб гэта праверыць.