Задачы пра плошчу квадрата і многае іншае

Такі дзіўны і знаёмы квадрат. Ён сіметрычны адносна свайго цэнтра і восяў, праведзеных па дыяганалях і праз цэнтры бакоў. А шукаць плошчу квадрата або яго аб'ём наогул не складае вялікай працы. Асабліва калі вядомая даўжыня яго боку.

Некалькі слоў пра фігуру і яе ўласцівасцях

Першыя два ўласцівасці звязаныя з вызначэннем. Ўсе бакі фігуры роўныя адзін аднаму. Бо квадрат - гэта правільны чатырохкутнік. Прычым у яго абавязкова ўсе бакі роўныя і куты маюць аднолькавае значэнне, а менавіта - 90 градусаў. Гэта другое ўласцівасць.

Трэцяе звязана з даўжынёй дыяганаляў. Яны таксама аказваюцца роўнымі адзін аднаму. Прычым перасякаюцца пад прамымі кутамі і ў кропках сярэдзіны.

Формула, у якой выкарыстоўваецца толькі даўжыня боку

Спачатку аб пазначэнні. Для даўжыні боку прынята выбіраць літару "а". Тады плошча квадрата вылічаецца па формуле: S = а ^2.

Яна лёгка атрымліваецца з той, што вядомая для прамавугольніка. У ёй даўжыня і шырыня перамнажаюцца. У квадрата гэтыя два элемента аказваюцца роўнымі. Таму ў формуле з'яўляецца квадрат гэтай адной велічыні.

Формула, у якой фігуруе даўжыня дыяганалі

Яна з'яўляецца гіпатэнузай ў трыкутніку, катэтамі якога з'яўляюцца боку фігуры. Таму можна скарыстацца формулай тэарэмы Піфагора і вывесці роўнасць, у якім бок выказана праз дыяганаль.

Правёўшы такія нескладаныя пераўтварэнні, атрымліваем, што плошча квадрата праз дыяганаль вылічаецца па такой формуле:

S = d ^2/2. Тут літарай d пазначаная дыяганаль квадрата.

Формула па перыметры

У такой сітуацыі неабходна выказаць бок праз перыметр і падставіць яго ў формулу плошчы. Паколькі аднолькавых бакоў ля фігуры чатыры, то перыметр прыйдзецца падзяліць на 4. Гэта будзе значэнне боку, якую потым можна падставіць у пачатковую і злічыць плошчу квадрата.

Формула ў агульным выглядзе выглядае так: S = (Р / 4) ^2.

Задачы на разлікі

№ 1. Маецца квадрат. Сума двух яго бакоў роўная 12 см. Вылічыце плошчу квадрата і яго перыметр.

Рашэнне. Паколькі дадзеная сума двух бакоў, то трэба даведацца даўжыню адной. Так як яны аднолькавыя, то пэўную колькасьць трэба проста падзяліць на два. Гэта значыць бок дадзенай фігуры роўная 6 см.

Тады яго перыметр і плошча лёгка вылічаюцца па прыведзеных формулах. Першы роўны 24 см, а другая - 36 см ^2.

Адказ. Перыметр квадрата складае 24 см, а яго плошча - 36 см ^2.

№ 2. Даведайцеся плошчу квадрата з перыметрам, роўным 32 мм.

Рашэнне. Дастаткова проста падставіць значэнне перыметра ў напісаную вышэй формулу. Хоць можна спачатку даведацца бок квадрата, а ўжо потым яго плошчу.

У абодвух выпадках у дзеяннях спачатку будзе ісці дзяленне, а потым ўзвядзенне ў ступень. Простыя разлікі прыводзяць да таго, што плошча прадстаўленага квадрата роўная 64 мм ^2.

Адказ. Шуканая плошчу роўная 64 мм ^2.

№ 3. Бок квадрата роўная 4 дм. Памеры прамавугольніка: 2 і 6 дм. У якой з гэтых двух фігур больш пляц? На колькі?

Рашэнне. Хай бок квадрата будзе пазначаная літарай а _1, тады даўжыня і шырыня прастакутніка а ₂ і ў _2. Для вызначэння плошчы квадрата значэнне а ₁ належыць ўзвесці ў квадрат, а прамавугольніка - перамнажаць а ₂ і ў _2. Гэта нескладана.

Атрымліваецца, што плошча квадрата роўная 16 дм ^2, а прамавугольніка - 12 дм ^2. Відавочна, што першая фігура больш другі. Гэта пры тым, што яны роўнавялікія, гэта значыць маюць аднолькавы перыметр. Для праверкі можна палічыць перыметры. У квадрата бок трэба памножыць на 4, атрымаецца 16 дм. У прамавугольніка скласці боку і памножыць на 2. Будзе тое ж лік.

У задачы патрабуецца яшчэ адказаць, на колькі плошчы адрозніваюцца. Для гэтага з большай колькасці адымаюць меншае. Розніца аказваецца роўнай 4 дм ^2.

Адказ. Плошчы роўныя 16 дм ² і 12 дм ^2. У квадрата яна больш на 4 дм ^2.

Задача на доказ

Ўмова. На катэты роўнабаковага прастакутнага трыкутніка пабудаваны квадрат. Да яго гіпатэнузе пабудавана вышыня, на якой пабудаваны яшчэ адзін квадрат. Даказаць, што плошча першага ў два разы больш, чым другога.

Рашэнне. Ўвядзем абазначэння. Хай катэт роўны а, а вышыня, праведзеная да гіпатэнузы, х. Плошчу першага квадрата - S _1, другога - S _2.

Плошчу квадрата, пабудаванага на катэты, вылічаецца проста. Яна аказваецца роўнай а ^2. З другім значэннем усё не так проста.

Для пачатку трэба даведацца даўжыню гіпатэнузы. Для гэтага спатрэбіцца формула тэарэмы Піфагора. Простыя пераўтварэнні прыводзяць да такога выразу: а√2.

Паколькі вышыня ў роўнабаковага трыкутніка, праведзеная да падставы, з'яўляецца яшчэ і медыянай і вышынёй, то яна дзеліць вялікі трохкутнік на два роўных роўнабаковы прамавугольных трохвугольніка. Таму вышыня роўная палове гіпатэнузы. Гэта значыць х = (а√2) / 2. Адсюль лёгка пазнаць плошчу S _2. Яна атрымліваецца роўнай а ^2/2.

Відавочна, што запісаныя значэння адрозніваюцца роўна ў два разы. Прычым другая ў гэты лік разоў менш. Што і патрабавалася даказаць.

Незвычайная галаваломка - танграм

Яна робіцца з квадрата. Яго неабходна па пэўных правілах разрэзаць на розныя фігуры. Усяго частак павінна апынуцца 7.

Правілы мяркуюць, што ў працэсе гульні будуць выкарыстоўвацца ўсе атрыманыя дэталі. З іх трэба складаць іншыя геаметрычныя фігуры. Напрыклад, прастакутнік, трапецыю ці паралелаграм.

Але яшчэ цікавей, калі з кавалачкаў атрымліваюцца сілуэты жывёл або прадметаў. Прычым аказваецца, што плошча ўсіх вытворных фігур роўная той, што была ў пачатковага квадрата.