Правільны пяцікутнік: неабходны мінімум інфармацыі

Тлумачальны слоўнік Ожегова абвяшчае, што пяцікутнік ўяўляе сабой геаметрычную фігуру, абмежаваную пяццю перасякальнымі прамымі, якія ўтвараюць пяць ўнутраных кутоў, а таксама любы прадмет падобнай формы. Калі ў дадзенага шматкутніка ўсе бакі і куты аднолькавыя, то ён называецца правільным (Пентагонам).

Чым цікавы правільны пяцікутнік?

Менавіта ў такой форме было пабудавана ўсім вядомы будынак Мінабароны Злучаных Штатаў. З аб'ёмных правільных шматкантовікаў толькі додекаэдра мае грані ў форме Пентагона. А ў прыродзе спрэс адсутнічаюць крышталі, грані якіх нагадвалі б сабой правільны пяцікутнік. Акрамя таго, гэтая фігура з'яўляецца шматкутнік з мінімальнай колькасцю кутоў, якім немагчыма забрукаваць плошчу. Толькі ў пяцікутніка колькасць дыяганаляў супадае з колькасцю яго бакоў. Пагадзіцеся, гэта цікава!

Асноўныя ўласцівасці і формулы

Скарыстаўшыся формуламі для адвольнага правільнага шматкутніка, можна вызначыць усе неабходныя параметры, якія мае пентагон.

• Цэнтральны кут α = 360 / n = 360/5 = 72 °.
• Ўнутраны кут β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Адпаведна, сума ўнутраных кутоў складае 540 °.
• Стаўленне дыяганалі да бакавіцы роўна (1 + √5) / 2, гэта значыць "залатому перасеку" (прыкладна 1,618).
• Даўжыня боку, якую мае правільны пяцікутнік, можа быць разлічана па адной з трох формул, у залежнасці ад таго, які параметр ўжо вядомы:

• калі вакол яго апісана акружнасць і вядомы яе радыус R, то а = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈1,1756 * R;
• у выпадку, калі акружнасць c радыусам r ўпісана ў правільны пяцікутнік, а = 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1,453 * r;
• бывае так, што замест радыусаў вядомая велічыня дыяганалі D, тады бок вызначаюць наступным чынам: а ≈ D / 1,618.

• Плошчу правільнага пяцікутніка вызначаецца, зноў-такі, у залежнасці ад таго, які параметр нам вядомы:
• калі маецца ўпісаная або апісаная акружнасць, то выкарыстоўваецца адна з двух формул:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r альбо S = (n * R ² * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R ^2;

• плошчу можна таксама вызначыць, ведаючы толькі даўжыню збоку а:

S = (5 * a ² * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a ^2.

Правільны пяцікутнік: пабудова

Дадзеную геаметрычную фігуру можна пабудаваць па-рознаму. Напрыклад, ўпісаць яго ў акружнасць з зададзеным радыусам альбо пабудаваць на базе зададзенай збоку. Паслядоўнасць дзеянняў была апісана яшчэ ў «Пачатках» Еўкліда прыкладна 300 гадоў да н.э. У любым выпадку, нам спатрэбяцца цыркуль і лінейка. Разгледзім спосаб пабудовы з дапамогай зададзенай акружнасці.

1. Абярыце адвольны радыус і накрэсліце акружнасць, пазначыўшы яе цэнтр кропкай O.

2. На лініі акружнасці абярыце пункт, якая будзе служыць адной з вяршыняў нашага пяцікутніка. Хай гэта будзе кропка А. Злучыце кропкі Аб і А прамым адрэзкам.

3. Правядзіце прамую праз кропку Аб перпендыкулярна да прамой ОА. Месца перасячэння гэтай прамой з лініяй акружнасці пазначце, як кропку В.

4. На сярэдзіне адлегласці паміж кропкамі Аб і У пабудуйце пункт С.

5. Зараз накрэсліце акружнасць, цэнтр якой будзе ў кропцы З і якая будзе праходзіць праз кропку А. Месца яе перасячэння з прамой OB (яно апынецца ўнутры самой першай акружнасці) будзе кропкай D.

6. Пабудуйце акружнасць, якая праходзіць праз D, цэнтр якой будзе ў А. Месцы яе перасячэння з першапачатковай акружнасцю трэба пазначыць кропкамі Е і F.

7. Цяпер пабудуйце акружнасць, цэнтр якой будзе ў Е. Зрабіць гэта трэба так, каб яна праходзіла праз А. Яе іншае месца перасячэння арыгінальнай акружнасці трэба пазначыць кропкай G.

8. Нарэшце, пабудуйце акружнасць праз А з цэнтрам у пункце F. Пазначце іншае месца перасячэння арыгінальнай акружнасці кропкай H.

9. Цяпер засталося толькі злучыць вяршыні A, E, G, H, F. Наш правільны пяцікутнік будзе гатовы!