Раўнанне плоскасці: як скласці? Віды раўнанняў плоскасці

У прасторы плоскасць можна задаваць рознымі спосабамі (адной кропкай і вектарам, двума кропкамі і вектарам, трыма кропкамі і інш.). Менавіта з улікам гэтага раўнанне плоскасці можа мець розныя віды. Таксама пры выкананні пэўных умоў плоскасці могуць быць паралельнымі, перпендыкулярнымі, перасякальнымі і г.д. Пра гэта і пагаворым у дадзеным артыкуле. Мы навучымся складаць агульнае раўнанне плоскасці і не толькі.

Нармальны выгляд ўраўненні

Дапусцім, ёсць прастора R _3, якое мае прастакутную каардынатную сістэму XYZ. Задамо вектар α, які будзе выпушчаны з пачатковай кропкі О. Праз канец вектара α правядзем плоскасць П, якая будзе яму перпендыкулярная.

Пазначым на П адвольную кропку Q = (х, у, z). Радыус-вектар пункту Q падпішам літарай р. Пры гэтым даўжыня вектара α раўняецца р = IαI і Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Гэта адзінкавы вектар, які накіраваны ў бок, як і вектар α. α, β і γ - гэта куты, якія ўтвараюцца паміж вектарам Ʋ і станоўчымі напрамкамі восяў прасторы х, у, z адпаведна. Праекцыя якой-небудзь пункту QεП на вектар Ʋ з'яўляецца пастаяннай велічынёй, якая роўная р: (р, Ʋ) = р (р≥0).

Азначанае раўнанне мае сэнс, калі р = 0. Адзінае, плоскасць П ў гэтым выпадку будзе перасякаць кропку Аб (α = 0), якая з'яўляецца пачаткам каардынат, і адзінкавы вектар Ʋ, выпушчаны з пункту О, будзе перпендыкулярны да П, нягледзячы на яго кірунак, што азначае, што вектар Ʋ вызначаецца з дакладнасцю да знака. Папярэдняе раўнанне з'яўляецца раўнаннем нашай плоскасці П, які выражаны ў вектарнай форме. А вось у каардынатах яго выгляд будзе такім:

Р тут больш або роўна 0. Мы знайшлі раўнанне плоскасці ў прасторы ў нармальным выглядзе.

агульнае раўнанне

Калі раўнанне ў каардынатах памножым на любы лік, якое не роўна нулю, атрымаем раўнанне, эквівалентнае дадзеным, якое вызначае тую самую плоскасць. Яно будзе мець такі выгляд:

Тут А, У, З - гэта лікі, адначасова выдатныя ад нуля. Гэта раўнанне называецца як раўнанне плоскасці агульнага выгляду.

Ўраўненні плоскасцяў. прыватныя выпадкі

Раўнанне ў агульным выглядзе можа відазмяняцца пры наяўнасці дадатковых умоў. Разгледзім некаторыя з іх.

Выкажам здагадку, што каэфіцыент А роўны 0. Гэта азначае, што дадзеная плоскасць раўналежная зададзенай восі Ох. У гэтым выпадку выгляд ўраўненні зменіцца: Ву + Cz + D = 0.

Аналагічна выгляд ўраўненні будзе змяняцца і пры наступных умовах:

• Па-першае, калі У = 0, то раўнанне зменіцца на Ах + Cz + D = 0, што будзе сведчыць аб паралельнасці да восі Оу.
• Па-другое, калі З = 0, то раўнанне пераўтворыцца ў Ах + Ву + D = 0, што будзе казаць пра паралельнасці да зададзенай восі Oz.
• Па-трэцяе, калі D = 0, раўнанне будзе выглядаць як Ах + Ву + Cz = 0, што будзе азначаць, што плоскасць перасякае Аб (пачатак каардынатаў).
• Па-чацвёртае, калі A = B = 0, то раўнанне зменіцца на Cz + D = 0, што будзе даказваць раўналежнасць да Oxy.
• Па-пятае, калі B = C = 0, то раўнанне стане Ах + D = 0, а гэта азначае, што плоскасць да Oyz раўналежная.
• Па-шостае, калі A = C = 0, то раўнанне набудзе выгляд Ву + D = 0, гэта значыць будзе паведамляць аб паралельнасці да Oxz.

Выгляд ўраўненні ў адрэзках

У выпадку калі колькасці А, У, З, D выдатныя ад нуля, выгляд ўраўненні (0) можа быць наступным:

х / а + у / b + z / с = 1,

у якім а = -D / А, b = -D / У, с = -D / С.

Атрымліваем у выніку раўнанне плоскасці ў адрэзках. Варта адзначыць, што дадзеная плоскасць будзе перасякаць вось Ох ў кропцы з каардынатамі (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З улікам ўраўненні х / а + у / b + z / с = 1 няцяжка візуальна прадставіць размяшчэнне плоскасці адносна зададзенай каардынатнай сістэмы.

Каардынаты нармальнага вэктару

Нармальны вектар n да плоскасці П мае каардынаты, якія з'яўляюцца каэфіцыентамі агульнай ўраўненні дадзенай плоскасці, то ёсць n (А, У, З).

Для таго каб вызначыць каардынаты нармалі n, дастаткова ведаць агульнае раўнанне зададзенай плоскасці.

Пры выкарыстанні ўраўненні ў адрэзках, якое мае выгляд х / а + у / b + z / с = 1, як і пры выкарыстанні агульнай ўраўненні, можна запісаць каардынаты любога нармальнага вектара зададзенай плоскасці: (1 / а + 1 / b + 1 / с).

Варта адзначыць, што нармальны вектар дапамагае вырашыць разнастайныя задачы. Да самых распаўсюджаным ставяцца задачы, якія складаюцца ў доказе перпендыкулярнасці або паралельнасці плоскасцей, задачы па знаходжанні кутоў паміж плоскасцямі або кутоў паміж плоскасцямі і прамымі.

Выгляд ўраўненні плоскасці згодна каардынатах кропкі і нармальнага вэктару

Ненулявое вектар n, перпендыкулярны зададзенай плоскасці, называюць нармальным (нармаллю) для зададзенай плоскасці.

Выкажам здагадку, што ў каардынатнай прасторы (прамавугольнай каардынатнай сістэме) Oxyz зададзеныя:

• кропка Мₒ з каардынатамі (хₒ, уₒ, zₒ);
• нулявы вектар n = А * i + В * j + З * k.

Трэба скласці раўнанне плоскасці, якая будзе праходзіць праз кропку Мₒ перпендыкулярна нармалі n.

У прасторы абярэм любую адвольную кропку і абазначым яе М (х у, z). Няхай радыус-вектар усякай пункту М (х, у, z) будзе r = х * i + у * j + z * k, а радыус-вектар пункту Мₒ (хₒ, уₒ, zₒ) - rₒ = хₒ * i + уₒ * j + zₒ * k. Кропка М будзе належаць зададзенай плоскасці, калі вектар МₒМ будзе перпендыкулярны вектару n. Запішам ўмова артаганальнай пры дапамозе скалярнага творы:

[МₒМ, n] = 0.

Паколькі МₒМ = r-rₒ, вектарнае раўнанне плоскасці выглядаць будзе так:

[R - rₒ, n] = 0.

Дадзенае раўнанне можа мець і іншую форму. Для гэтага выкарыстоўваюцца ўласцівасці скалярнага творы, а пераўтвараецца левы бок ўраўненні. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Калі [rₒ, n] пазначыць як з, то атрымаецца наступнае раўнанне: [r, n] - з = 0 або [r, n] = с, якое выказвае сталасць праекцый на нармальны вектар радыус-вектараў зададзеных кропак, якія належаць плоскасці.

Цяпер можна атрымаць каардынатны від запісу вектарнага ўраўненні нашай плоскасці [r - rₒ, n] = 0. Паколькі r-rₒ = (х-хₒ) * i + (у-уₒ) * j + (z-zₒ) * k, а n = А * i + В * j + З * k, мы маем:

Выходзіць, у нас ўтвараецца раўнанне плоскасці, якая праходзіць праз кропку перпендыкулярна нармалі n:

А * (х- хₒ) + В * (у- уₒ) С * (z-zₒ) = 0.

Выгляд ўраўненні плоскасці згодна каардынатах двух кропак і вэктару, коллинеарного плоскасці

Задамо дзве адвольныя пункту М '(х', у ', z') і М "(х", у ", z"), а таксама вектар а (а ', а ", а ‴).

Цяпер мы зможам скласці раўнанне зададзенай плоскасці, якая будзе праходзіць праз наяўныя пункту М 'і М ", а таксама ўсякую кропку М з каардынатамі (х, у, z) паралельна зададзенаму вектару а.

Пры гэтым вектары М'М = {х-х '; у-у'; zz '} і М "М = {х" -х'; у "-у '; z" -z'} павінны быць компланарными з вектарам а = (а ', а ", а ‴), а гэта значыць, што (М'М, М" М, а) = 0.

Такім чынам, наша раўнанне плоскасці ў прасторы будзе выглядаць так:

Выгляд ўраўненні плоскасці, якая перасякае тры кропкі

Дапусцім, у нас ёсць тры кропкі: (х ', у', z '), (х ", у", z "), (х ‴, у ‴, z ‴), якія не належаць адной прамой. Неабходна напісаць раўнанне плоскасці, якая праходзіць праз зададзеныя тры кропкі. Тэорыя геаметрыі сцвярджае, што такога роду плоскасць сапраўды існуе, вось толькі яна адзіная і непаўторная. Паколькі гэтая плоскасць перасякае кропку (х ', у', z '), выгляд яе ўраўненні будзе наступным:

Тут А, У, З адрозныя ад нуля адначасова. Таксама зададзеная плоскасць перасякае яшчэ дзве кропкі: (х ", у", z ") і (х ‴, у ‴, z ‴). У сувязі з гэтым павінны выконвацца такога роду ўмовы:

Зараз мы можам скласці аднастайную сістэму раўнанняў (лінейную) з невядомымі u, v, w:

У нашым выпадку х, у або z выступае адвольнай кропкай, якая задавальняе раўнанне (1). Улічваючы раўнанне (1) і сістэму з раўнанняў (2) і (3), сістэме раўнанняў, паказанай на малюнку вышэй, задавальняе вектар N (А, В, С), які з'яўляецца нетрывіяльным. Менавіта таму вызначальнік дадзенай сістэмы раўняецца нулю.

Раўнанне (1), якое ў нас атрымалася, гэта і ёсць раўнанне плоскасці. Праз 3 пункту яна дакладна праходзіць, і гэта лёгка праверыць. Для гэтага трэба раскласці наш вызначальнік па элементах, якія знаходзяцца ў першай радку. З існуючых уласцівасцяў вызначальніка выцякае, што наша плоскасць адначасова перасякае тры першапачаткова зададзеныя кропкі (х ', у', z '), (х ", у", z "), (х ‴, у ‴, z ‴). Гэта значыць, мы вырашылі пастаўленую перад намі задачу.

Двухгранныя кут паміж плоскасцямі

Двухгранныя кут ўяўляе сабой прасторавую геаметрычную фігуру, адукаваную двума полуплоскостями, якія зыходзяць з адной прамой. Іншымі словамі, гэта частка прасторы, якая абмяжоўваецца дадзенымі полуплоскостями.

Дапусцім, у нас маюцца дзве плоскасці з наступнымі раўнаннямі:

Нам вядома, што вектары N = (А, В, С) і N¹ = (А¹, В¹, С¹) перпендыкулярныя згодна зададзеным плоскасцям. У сувязі з гэтым кут φ паміж вектарамі N і N¹ раўняецца куце (двухгранныя), які знаходзіцца паміж гэтымі плоскасцямі. Скалярны твор мае выгляд:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

менавіта таму

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (АА¹ + ВВ¹ + СС¹) / ((√ (А² + В² + с²)) * (√ (А¹) ² + (В¹) ² + (С¹) ²)).

Дастаткова ўлічыць, што 0≤φ≤π.

На самай справе дзве плоскасці, якія перасякаюцца, ўтвараюць два кута (двухгранныя): φ ₁ і φ _2. Сума іх роўная π (φ ₁ + φ ₂ = π). Што да іх косінус, то іх абсалютныя велічыні роўныя, але адрозніваюцца яны знакамі, то ёсць cos φ ₁ = -cos φ _2. Калі ў раўнанні (0) замяніць А, В і С на колькасці -А, -У і -З адпаведна, то раўнанне, якое мы атрымаем, будзе вызначаць гэтую ж плоскасць, адзінае, кут φ ў раўнанні cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | будзе заменены на π-φ.

Раўнанне перпендыкулярнай плоскасці

Перпендыкулярнымі называюцца плоскасці, паміж якімі кут роўны 90 градусаў. Выкарыстоўваючы матэрыял, выкладзены вышэй, мы можам знайсці раўнанне плоскасці, перпендыкулярнай іншы. Дапусцім, у нас маюцца дзве плоскасці: Ах + Ву + Cz + D = 0 і А¹х + В¹у + С¹z + D = 0. Мы можам сцвярджаць, што перпендыкулярнымі яны будуць, калі cosφ = 0. Гэта значыць, што NN¹ = АА¹ + ВВ¹ + СС¹ = 0.

Раўнанне паралельнай плоскасці

Паралельнымі называюцца дзве плоскасці, якія не ўтрымліваюць агульных кропак.

Ўмова паралельнасці плоскасцей (іх ўраўненні тыя ж, што і ў папярэднім пункце) заключаецца ў тым, што вектары N і N¹, якія да іх перпендыкулярныя, коллинеарные. А гэта значыць, што выконваюцца наступныя ўмовы прапарцыйнасці:

А / А¹ = У / В¹ = З / С¹.

Калі ўмовы прапарцыйнасці з'яўляюцца пашыранымі - А / А¹ = У / В¹ = З / С¹ = DD¹,

гэта сведчыць аб тым, што дадзеныя плоскасці супадаюць. А гэта значыць, што ўраўненні Ах + Ву + Cz + D = 0 і А¹х + В¹у + С¹z + D¹ = 0 апісваюць адну плоскасць.

Адлегласць да плоскасці ад пункту

Дапусцім, у нас ёсць плоскасць П, якая зададзена раўнаннем (0). Неабходна знайсці да яе адлегласць ад пункту з каардынатамі (хₒ, уₒ, zₒ) = Qₒ. Каб гэта зрабіць, трэба прывесці раўнанне плоскасці П ў нармальны выгляд:

(Ρ, v) = р (р≥0).

У дадзеным выпадку ρ (х, у, z) з'яўляецца радыус-вектарам нашага пункту Q, размешчанай на П, р - гэта даўжыня перпендыкуляра П, які быў выпушчаны з нулявой кропкі, v - гэта адзінкавы вектар, які размешчаны ў напрамку а.

Розніца ρ-ρº радыус-вектара якой-небудзь пункту Q = (х, у, z), які належыць П, а таксама радыус-вектара зададзенай кропкі Q ₀ = (хₒ, уₒ, zₒ) з'яўляецца такім вектарам, абсалютная велічыня праекцыі якога на v раўняецца адлегласці d, якое трэба знайсці ад Q ₀ = (хₒ, уₒ, zₒ) да П:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, але

(ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v) - (ρ ^0, v) = р- (ρ ^0, v).

Вось і атрымліваецца,

d = | (ρ ^0, v) -р |.

Цяпер відаць, каб разлічыць адлегласць d ад Q ₀ да плоскасці П, трэба выкарыстоўваць нармальны выгляд ўраўненні плоскасці, пры гэтым перанесці ў левую частку р, а ў апошнюю замест х, у, z падставіць (хₒ, уₒ, zₒ).

Такім чынам, мы знойдзем абсалютнае значэнне атрыманага выказвання, то ёсць шуканае d.

Выкарыстоўваючы мову параметраў, атрымліваем відавочнае:

d = | Ахₒ + Вуₒ + Czₒ | / √ (А² + В² + с²).

Калі зададзеная кропка Q ₀ знаходзіцца па іншы бок ад плоскасці П, як і пачатак каардынатаў, то паміж вектарам ρ-ρ ⁰ і v знаходзіцца тупы кут, такім чынам:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -р> 0.

У выпадку калі кропка Q ₀ сумесна з пачаткам каардынат размяшчаецца па адзін і той жа бок ад П, то ствараецца кут востры, гэта значыць:

d = (ρ-ρ ^0, v) = р - (ρ ^0, v)> 0.

У выніку атрымліваецца, што ў першым выпадку (ρ ^0, v)> р, у другім (ρ ^0, v) <р.

Датычная плоскасць і яе раўнанне

Якая тычыцца плоскасць да паверхні ў кропцы дотыку Мº - гэта плоскасць, якая змяшчае ўсе магчымыя датычныя да крывым, праведзеным праз гэтую кропку на паверхні.

Пры такім выглядзе ўраўненні паверхні F (х, у, z) = 0 раўнанне датычнай плоскасці ў датычнай кропцы Мº (хº, уº, zº) будзе выглядаць так:

F _х (хº, уº, zº) (х- хº) + F _х (хº, уº, zº) (у- уº) + F _х (хº, уº, zº) (z-zº) = 0.

Калі задаць паверхню ў відавочнай форме z = f (х, у), то датычная плоскасць будзе апісана раўнаннем:

z-zº = f (хº, уº) (х- хº) + f (хº, уº) (у- уº).

Скрыжаванне двух плоскасцяў

У трохмернай прасторы размешчана сістэма каардынатаў (прамавугольная) Oxyz, дадзены дзве плоскасці П 'і П ", якія перасякаюцца і не супадаюць. Паколькі любая плоскасць, якая знаходзіцца ў прамавугольнай каардынатнай сістэме, вызначаецца агульным раўнаннем, будзем меркаваць, што П 'і П "задаюцца раўнаннямі А'х + В'у + С'z + D' = 0 і А" х + У "у + З "z + D" = 0. У такім выпадку маем нармаль n '(А', У ', С') плоскасці П 'і нармаль n "(А", В ", С") плоскасці П ". Паколькі нашы плоскасці не раўналежныя і не супадаюць, то гэтыя вектары зьяўляюцца не коллинеарными. Выкарыстоўваючы мову матэматыкі, мы дадзенае ўмова можам запісаць так: n '≠ n "↔ (А', У ', С') ≠ (λ * А", λ * У ", λ * С"), λεR. Няхай прамая, якая ляжыць на скрыжаванні П 'і П ", будзе пазначацца літарай а, у гэтым выпадку а = П' ∩ П".

а - гэта прамая, якая складаецца з мноства ўсіх кропак (агульных) плоскасцяў П 'і П ". Гэта значыць, што каардынаты любой кропкі, якая належыць прамой а, павінны адначасова задавальняць ўраўненні А'х + В'у + С'z + D '= 0 і А "х + У" у + С "z + D" = 0. Значыць, каардынаты кропкі будуць прыватным рашэннем наступнай сістэмы раўнанняў:

У выніку атрымліваецца, што рашэнне (агульнае) гэтай сістэмы раўнанняў будзе вызначаць каардынаты кожнай з кропак прамой, якая будзе выступаць кропкай перасячэння П 'і П ", і вызначаць прамую а ў каардынатнай сістэме Oxyz (прастакутнай) у прасторы.