Як знайсці плошчу круга

У геаметрыі кругам называюць частка плоскасці, якая абмежаваная акружнасцю. Слова, якое пазначае раздзел матэматыкі, па апісаннях, пакінутым старажытнагрэцкім гісторыкам Герадотам, адбылося ад грэцкіх слоў «гео» - зямля і «Метро» - мераю. У старажытныя часы пасля кожнага разліву ракі Ніл людзям даводзілася нанова пазначаць ўчасткі урадлівай зямлі на яго берагах. Акружнасць ж з'яўляецца замкнёнай крывой, а ўсе кропкі, на ёй ляжаць, роўнападаленыя ад цэнтра на адлегласць, званае радыусам (ён адпавядае палове дыяметра - лініі, якая злучае дзве кропкі акружнасці і праходзіць праз яе цэнтр). Лічыцца, што той, хто не вывучыў ўласцівасці акружнасці, не ўмее вызначаць яе даўжыню ці не можа адказаць на пытанне, «як вылічыць плошчу кола?", Яшчэ не ведае геаметрыі. Так як самыя прыгожыя, цяжкія і цікавыя тэарэмы звязаныя менавіта з акружнасцю.

Акружнасць лічыцца «колам геаметрыі». Яго вось заўсёды знаходзіцца ад паверхні, па якой яно коціцца, на адной адлегласьці - гэта адно з галоўных уласцівасцяў. Іншая важная ўласцівасць акружнасці заключаецца ў тым, што плошча ёю акрэсленая - круг - будзе максімальнай у параўнанні з плошчай іншых фігур, акрэсленых ламанымі лініямі, даўжыня якіх роўная даўжыні акружнасці. Як знайсці плошчу круга? Пры адказе на гэта пытанне варта ўспомніць пра адну матэматычнай пастаяннай: у геаметрыі і матэматыцы мае вялікае значэнне лік π (грэцкую літару варта прамаўляць, як пі), якое паказвае, што даўжыня акружнасці ў 3,14159 разоў больш яе дыяметра: L = π • d = 2 • π • r (d - дыяметр, r - радыус). Гэта значыць, для акружнасці з дыяметрам 1 метр, даўжыня будзе раўняцца 3,14159 м. Пошук дакладнага значэння гэтага трансцэндэнтнага колькасці мае сваю цікавую гісторыю, якая ішла паралельна з развіццём матэматыкі.

Лік π выкарыстоўваецца таксама для разліку плошчы круга. Ўсю гісторыю гэтага ліку ўмоўна дзеляць на тры перыяды: старажытны перыяд (геаметрычны), класічная эра і новы час, звязанае са з'яўленнем лічбавых кампутараў. Яшчэ старажытнаегіпецкія, вавілонскія, старажытнаіндыйскія і старажытнагрэцкія геаметрыі ведалі, што суадносіны даўжыні акружнасці і дыяметра трохі больш 3. Менавіта гэта веданне дапамагло навукоўцам старажытнасці ўсталяваць формулу плошчы круга. Так як значэнне колькасці π вядома, то можна знайсці плошчу круга, падставіўшы ў формулу: S = π • r2, квадрат яе радыуса r. Навукоўцы ў розныя часы (але Архімед, яшчэ ў 3 стагоддзі да нашай эры, у гэтым пытанні быў першым) выкарыстоўвалі мноства спосабаў для ўстанаўлення колькасці π, і сёння пошук метадаў працягваецца, яго вылічаюць на кампутарах. Дакладнасць, з якой яно разлічана ў 2011 годзе, дасягнула дзесяці трыльёнаў знакаў.

Формулы, якія паказваюць, як знайсці плошчу круга або як знайсці даўжыню акружнасці, вядомыя любому старшакласніку. Яны на працягу тысячагоддзяў выкарыстоўваліся матэматыкамі і кваліфікаванымі спецыялістамі-вылічальніка, так як цікавасць усё больш дакладнага вызначэння колькасці π стаў пахадзіць на матэматычны спорт, з дапамогай якога ў наш час дэманструюцца магчымасці і перавагі праграм і кампутараў. Старажытныя егіпцяне і Архімед лічылі, што лік π знаходзіцца ў межах ад 3 да 3,160. Арабскімі матэматыкамі было даказана, што яно складае 3,162. Кітайскі навуковец Чжан Хэн ў 2 стагоддзі нашай эры удакладніў яго значэнне ≈ 3,1622 і гэтак далей - пошукі працягваюцца, але сёння яны набываюць новы сэнс. Так, напрыклад, набліжанага да значэнне 3,14 супадае з неафіцыйнай датай 14 сакавіка, якое лічыцца святам колькасці π.

Плошча круга, ведаючы радыус і выкарыстоўваючы набліжанага да значэнне колькасці π, лёгка можна палічыць. Але, як знайсці плошчу круга, калі невядомы яго радыус? У найпростым выпадку, калі плошчу можна разбіць на квадраты, то яе прыраўноўваюць да ліку квадратаў, але ў выпадку з вакол гэты спосаб не падыходзіць. Таму для рашэння задачы, якая змяшчаецца ў пытанні «як знайсці плошчу кола?", Выкарыстоўваюць інструментальныя метады. Колькаснага характарыстыку двухмернай геаметрычнай фігуры, якая паказвае яе памер, знаходзяць з дапамогай палеткі або планіметрыі.