Што такое квадратны корань?

Сярод мноства ведаў, якія з'яўляюцца прыкметай пісьменнасці, на першым месцы стаіць азбука. Наступным, такім самым "знакавым" элементам, з'яўляюцца навыкі складання-множання і, якія прымыкаюць да іх, але зваротныя па сэнсе, арыфметычныя аперацыі аднімання-дзялення. Засвоеныя ў далёкім школьным дзяцінстве навыкі, служаць верай і праўдай дзень і ноч: ТБ, газета, СМС, рахункі на аплату. І ўсюды чытаем, пішам, лічым, складаем, адымаем, памнажаем. А, скажыце, ці часта вам даводзілася па жыцці, здабываць карані, акрамя, як на дачы? Напрыклад, такая цікавая задачка, тыпу, корань квадратны з ліку 12345 ... Ёсць яшчэ порах у парахаўніцах? Здужаюць? Ды няма нічога прасцей! Дзе тут мой калькулятар ... А без яго, ўрукапашную, слабо?

Спачатку ўдакладнім, што ж гэта такое - квадратны корань ліку. Наогул кажучы, «выняць корань з ліку» азначае выканаць арыфметычнае дзеянне супрацьлеглае ўзвядзенню ў ступень - вось вам і адзінства супрацьлегласцяў ў жыццёвым дадатку. Узвядзенне ў ступень, дапусцім, квадрат, гэта памнажэнне колькасці на самую сябе, г.зн., як вучылі ў школе, Х * Х = А ці ў іншай запісу Х2 = А, а словамі - «Х у квадраце раўняецца А». Тады зваротная задача гучыць так: квадратны корань колькасці А, уяўляе сабой лік Х, якое быўшы узведзены ў квадрат роўна А.

Здабываем квадратны корань

Са школьнага курсу арыфметыкі вядомыя спосабы вылічэнняў «у слупок», якія дапамагаюць выканаць любыя падлікі з ужываннем першых чатырох арыфметычных дзеянняў. Нажаль ... Для квадратных, і не толькі квадратных, каранёў такіх алгарытмаў не існуе. А ў такім разе, як атрымаць квадратны корань без калькулятара? Зыходзячы з вызначэння квадратнага кораня вывад адзін - неабходна падбіраць значэнне выніку паслядоўным пераборам лікаў, квадрат якіх набліжаецца да значэння падка- рэнны выразы. Толькі і ўсяго! Не паспее прайсці гадзіну-другую, як можна палічыць, выкарыстоўваючы добра вядомы прыём множання ў «слупок», любы квадратны корань. Пры наяўнасці навыкаў для гэтага дастаткова пары хвілін. Нават не зусім прасунуты карыстальнік калькулятара або ПК робіць гэта адным махам - прагрэс.

А калі сур'ёзна, то вылічэнне квадратнага кораня часта выконваюць, выкарыстоўваючы прыём «артылерыйскай відэльцы»: спачатку бяруць лік, квадрат якога, прыкладна, адпавядае падка- рэнны выразе. Лепш, калі «наш квадрат» крыху менш гэтага выказвання. Затым карэктуюць лік па ўласным ўменню-разуменню, напрыклад, памнажаюць на два, і ... зноў ўзводзяць у квадрат. Калі вынік большы за лік пад коранем, паслядоўна карэктуючы зыходнае лік, паступова набліжаюцца да яго «калегу» пад коранем. Як бачыце - ніякага калькулятара, толькі ўменне лічыць «ў слупок". Вядома ж, ёсць мноства навукова-аргументаваных і аптымізаваных алгарытмаў вылічэнняў квадратнага кораня, але для «хатняга прымянення» паказаны вышэй прыём дае 100% упэўненасць у выніку.

Так, ледзь не забыўся, каб пацвердзіць сваю ўзрослую пісьменнасць, вылічым квадратны корань раней названага колькасці 12345. Робім пакрокава:

1. Возьмем, чыста інтуітыўна, Х = 100. Падлічым: Х * Х = 10000. Інтуіцыя на вышыні - вынік менш 12345.

2. Паспрабуем, таксама чыста інтуітыўна, Х = 120. Тады: Х * Х = 14400.И зноў з інтуіцыяй парадак - вынік больш 12345.

3. Вышэй атрымана «відэлец» 100 і 120. Абярэм новыя лікі - 110 і 115. Атрымліваем, адпаведна, 12100 і 13225 - відэлец звужаецца.

4. Спрабуем на «авось» Х = 111. Атрымліваем Х * Х = 12321. Гэта лік ўжо дастаткова блізка да 12345. У адпаведнасці з патрабаванай дакладнасцю «падганянне» можна працягнуць або спыніцца на атрыманым выніку. Вось і ўсё. Як і было абяцана - усё вельмі проста і без калькулятара.

Зусім трохі гісторыі ...

Дадумаліся да выкарыстання квадратных каранёў яшчэ піфагарэйцы, вучні школы і паслядоўнікі Піфагора, за 800 гадоў да н.э. і тут жа, «нарваліся» на новыя адкрыцці ў галіне лікаў. І адкуль што ўзялося?

1. Рашэнне задачы з атрыманнем кораня, дае вынік у выглядзе лікаў новага класа. Іх назвалі ірацыянальнымі, інакш кажучы, «неразумнымі", бо яны не запісваюцца скончаным лікам. Самы класічны прыклад такога роду - квадратны корань з 2. Гэты выпадак адпавядае вылічэнню дыяганалі квадрата з бокам роўнай 1 - вось яно, уплыў школы Піфагора. Аказалася, што ў трохвугольніка з цалкам канкрэтным адзінкавым памерам бакоў, гіпатэнуза, бо яго аб'ём, які выяўляецца лікам, у якога «няма канца». Так у матэматыцы з'явіліся ірацыянальныя ліку.

2. Вядома, што ліха бяда пачатак. Аказалася, што гэтая матэматычная аперацыя змяшчае яшчэ адзін падвох - здабываючы корань, мы не ведаем, квадратам якога чысла, станоўчага або адмоўнага, з'яўляецца падка- рэнны выраз. Гэтая нявызначанасць, двайны вынік ад адной аперацыі, так і запісваецца.

Вывучэнне звязаных з гэтай з'явай праблем стала кірункам у матэматыцы пад назвай тэорыя комплекснай зменнай, якія маюць вялікае практычнае значэнне ў матэматычнай фізіцы.

Цікава, што абазначэнне кораня - радыкал - ужыў у сваёй «Універсальнай арыфметыцы» усё той жа ўсюдыісны І. Ньютан, а ў дакладнасці сучасны выгляд запісу кораня вядомы з 1690 года з кнігі француза рол «Кіраўніцтва алгебры».