Арыфметычная прагрэсія

Задачы па арыфметычнай прагрэсіі існавалі ўжо ў глыбокай старажытнасці. Яны з'яўляліся і патрабавалі рашэння, паколькі мелі практычную неабходнасць.

Так, у адным з папірусаў Старажытнага Егіпта, які мае матэматычнае ўтрыманне, - папірусе Райнда (XIX стагоддзе да нашай эры) - утрымліваецца такая задача: распранулі дзесяць мер хлеба на дзесяць чалавек, пры ўмове калі рознасць паміж кожным з іх складае адну восьмую меры ».

І ў матэматычных працах старажытных грэкаў сустракаюцца хупавыя тэарэмы, якія маюць дачыненне да арыфметычнай прагрэсіі. Так, Гипсикл Александрыйскі (II стагоддзе да нашай эры), які склаў нямала цікавых задач і дадалы чатырнаццатую кнігу да «Пачаткам» Еўкліда, сфармуляваў думку: «У арыфметычнай прагрэсіі, якая мае цотная колькасць членаў, сума членаў 2-ой паловы больш сумы членаў 1- ой на лік, кратнае квадрату 1/2 колькасці членаў ».

Возьмем адвольны шэраг натуральных лікаў (больш за нуль): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., які называюць лікавы паслядоўнасцю.

Пазначаецца паслядоўнасць an. Колькасці паслядоўнасці называюцца яе членамі і абазначаюцца звычайна літарамі з індэксамі, якія паказваюць парадкавы нумар гэтага члена (a1, a2, a3 ... чытаецца: "a 1-ае», «a 2-ое», «a 3-тье» і гэтак далей ).

Паслядоўнасць можа быць бясконцай або канчатковай.

А што ж такое арыфметычная прагрэсія? Пад ёй разумеюць паслядоўнасць лікаў, што атрымліваецца складаннем папярэдняга члена (n) з адным і тым жа лікам d, якія з'яўляюцца рознасцю прагрэсіі.

Калі d <0, то мы маем змяншальныя прагрэсіі. Калі d> 0, то такая прагрэсія лічыцца нарастаючым.

Арыфметычная прагрэсія называецца канчатковай, калі ўлічваюцца толькі некалькі яе першых членаў. Пры вельмі вялікай колькасці членаў гэта ўжо бясконцая прагрэсія.

Задаецца любая арыфметычная прагрэсія наступнай формулай:

an = kn + b, пры гэтым b і k - некаторыя ліку.

Вось гэта праўда зацвярджэнне, якое з'яўляецца зваротным: калі паслядоўнасць задаецца падобнай формулай, то гэта дакладна арыфметычная прагрэсія, якая мае ўласцівасці:

1. Кожны член прагрэсіі - сярэдняе арыфметычнае папярэдняга члена і наступнага.
2. Адваротнае: калі, пачынальна са 2-ого, кожны член - сярэдняе арыфметычнае папярэдняга члена і наступнага, г.зн. калі выконваецца ўмова, то дадзеная паслядоўнасць - арыфметычная прагрэсія. Гэта роўнасць адначасова з'яўляецца і прыкметай прагрэсіі, таму яго, як правіла, называюць характарыстычных уласцівасцю прагрэсіі.
   Сапраўды гэтак жа дакладная тэарэма, якая адлюстроўвае гэта ўласцівасць: паслядоўнасць - арыфметычная прагрэсія толькі ў тым выпадку, калі гэта роўнасць дакладна для любога з членаў паслядоўнасці, пачынаючы з 2-га.

Характарыстычных ўласцівасць для чатырох любых лікаў арыфметычнай прагрэсіі можа быць выказана формулай an + am = ak + al, калі n + m = k + l (m, n, k - лікі прагрэсіі).

У арыфметычнай прагрэсіі любы неабходны (N-й) член знайсці можна, ужываючы наступную формулу:

an = a1 + d (n-1).

Да прыкладу: першы член (a1) у арыфметычнай прагрэсіі зададзены і роўны тром, а рознасць (d) раўняецца чатыром. Знайсці патрэбна сорак пяты член гэтай прагрэсіі. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d (n - k) дазваляе вызначыць n-й член арыфметычнай прагрэсіі праз любой яе k-ты член пры ўмове, калі ён вядомы.

Сума членаў арыфметычнай прагрэсіі (маецца на ўвазе 1-ые n членаў канчатковай прагрэсіі) вылічаецца наступным чынам:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Калі вядомыя рознасць арыфметычнай прагрэсіі і 1-шы член, то для вылічэнні зручная іншая формула:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сума арыфметычнай прагрэсіі, якая ўтрымлівае n членаў, падлічваецца такім чынам:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Выбар формул для разлікаў залежыць ад умоў задач і зыходных дадзеных.

Натуральны шэраг любых лікаў, такіх як 1,2,3, ..., n, ...- найпросты прыклад арыфметычнай прагрэсіі.

Акрамя арыфметычнай прагрэсіі існуе яшчэ і геаметрычная, якая валодае сваімі ўласцівасцямі і характарыстыкамі.