Задачы, якія вырашаюцца з дапамогай ўраўненні. Рашэнне задач па матэматыцы

У курсе школьнай матэматыкі абавязкова сустракаюцца задачы. Некаторыя ўтаймоўвай ў некалькі дзеянняў, іншыя патрабуюць некаторай галаваломкі.

Задачы, якія вырашаюцца з дапамогай ўраўненні, толькі на першы погляд цяжкія. Калі патрэніравацца, то гэты працэс дойдзе да аўтаматызму.

геаметрычныя фігуры

Для таго каб зразумець пытанне, трэба паглыбіцца ў сутнасць. Уважліва ўчытвацца ў ўмова, лепш перачытаць некалькі разоў. Задачы на ўраўненні толькі на першы погляд цяжкія. Разгледзім прыклад для пачатку самы просты.

Дадзены прастакутнік, неабходна знайсці яго плошчу. Дадзена: шырыня на 48% менш даўжыні, перыметр прамавугольніка складае 7,6 сантыметра.

Рашэнне задач па матэматыцы патрабуе ўважлівага вчитывания, логікі. Давайце разам з ёй справімся. Што трэба ў першую чаргу ўлічыць? Пазначым даўжыню за х. Такім чынам, у нашым раўнанні шырыня складзе 0,52х. Нам дадзены перыметр - 7,6 сантыметра. Знойдзем полупериметр, для гэтага 7,6 сантыметра падзелім на 2, ён роўны 3,8 сантыметра. У нас атрымалася раўнанне, з дапамогай якога мы знойдзем даўжыню і шырыню:

0,52х + х = 3,8.

Калі мы атрымаем х (даўжыню), няцяжка будзе знайсці і 0,52х (шырыню). Калі мы ведаем гэтыя дзве велічыні, то знаходзім адказ на галоўнае пытанне.

Задачы, якія вырашаюцца з дапамогай ўраўненні, не так складаныя, як здаюцца, гэта мы маглі зразумець з першага прыкладу. Мы знайшлі даўжыню х = 2,5 сантыметра, шырыню (обознчим у) 0,52х = 1,3 сантыметра. Пераходзім да плошчы. Яна знаходзіцца па простай формуле S = х * у (для прастакутнікаў). У нашай задачы S = 3,25. Гэта і будзе адказам.

Разгледзім яшчэ прыклады рашэння задач са знаходжаннем плошчы. І ў гэты раз возьмем прастакутнік. Рашэнне задач па матэматыцы на знаходжанне перыметра, плошчы розных фігур сустракаецца даволі часта. Чытаем ўмова задачы: дадзены прастакутнік, яго даўжыня на 3,6 сантыметра больш шырыні, якая складае 1/7 перыметра фігуры. Знайсці плошчу дадзенага прамавугольніка.

Зручна будзе пазначыць шырыню за зменную х, а даўжыню за (х + 3,6) сантыметра. Знойдзем перыметр:

Р = 2х + 3,6.

Мы не можам вырашыць раўнанне, так як маем у ім дзве зменныя. Таму глядзім яшчэ раз ўмова. Там сказана, што шырыня роўная 1/7 перыметра. Атрымліваем раўнанне:

1/7 (2х + 3,6) = х.

Для зручнасці рашэння памножым кожную частку ўраўненні на 7, так мы пазбаўляемся ад дробу:

2х + 3,6 = 7х.

Пасля рашэння мы атрымліваем х (шырыню) = 0,72 сантыметра. Ведаючы шырыню, знаходзім даўжыню:

0,72 + 3,6 = 4,32 см.

Цяпер нам вядомыя даўжыня і шырыня, адказваем на галоўнае пытанне аб тым, чаму роўная плошча прамавугольніка.

S = х * у, S = 3,1104 см.

Бідоны з малаком

Рашэнне задач з дапамогай ураўненняў выклікае нямала цяжкасцяў у школьнікаў, нягледзячы на тое што гэтая тэма пачынаецца ў чацвёртым класе. Ёсць мноства прыкладаў, мы разгледзелі на знаходжанне плошчы фігур, цяпер крыху адцягнемся ад геаметрыі. Паглядзім простыя задачы з складаннем табліц, яны дапамагаюць візуальна: так лепш бачныя дадзеныя, якія дапамагаюць у вырашэнні.

Прапануеце дзецям прачытаць ўмова задачы і скласці табліцу, якая дапамагае складанні ўраўненні. Вось умова: ёсць два бітона, у першым у тры разы больш малака, чым у другім. Калі з першага пераліць пяць літраў у другой, то малака апынецца пароўну. Пытанне: колькі было малака ў кожным бітоне?

Для дапамогі ў вырашэнні неабходна скласці табліцу. Як яна павінна выглядаць?

рашэнне

	было	стала
1 бітон	3х	3х - 5
2 бітон	х	х + 5

Як гэта дапаможа ў складанні раўнання? Нам вядома, што ў выніку малака стала пароўну, значыць раўнанне будзе выглядаць наступным чынам:

3х - 5 = х + 5;

2х = 10;

х = 5.

Мы знайшлі первоночальное колькасць малака ў другім бітоне, значыць, у першым было: 5 * 3 = 15 літраў малака.

Зараз трохі тлумачэнняў па складанні табліцы.

Чаму мы першы бітон пазначылі за 3х: ва ўмове агаворана, што ў другім бітоне малака ў тры разы менш. Затым чытаем, што з першага бітона злілі 5 літраў, такім чынам стала 3х - 5, а ў другой налілі: х + 5. Чаму мы паставілі знак роўна паміж гэтымі ўмовамі? У ўмове задачы сказана, што малака стала пароўну.

Так мы атрымліваем адказ: першы бітон - 15 літраў, другі - 5 літраў малака.

вызначэнне глыбіні

Па ўмове задачы: глыбіня першай свідравіны на 3,4 метра больш другі. Першую свідравіну павялічылі на 21,6 метра, а другую - у тры разы, пасля гэтых дзеянняў свідравіны маюць аднолькавую глыбіню. Трэба разлічыць, якую глыбіню мела кожная свідравіна першапачаткова.

Метады рашэння задач шматлікія, можна рабіць па дзеяннях, складаць ўраўненні або іх сістэму, але найбольш зручны другі варыянт. Каб перайсці да вырашэння, сотавим табліцу, як у папярэднім прыкладзе.

рашэнне

	было	стала
1 свідравіна	х + 3,4	х + 3,4 + 21,6
2 свідравіна	х	3х

Пераходзім да складання раўнання. Так як свідравіны сталі аднолькавай глыбіні, то яно мае наступны выгляд:

х + 3,4 + 21,6 = 3х;

х - 3х = -25;

-2х = -25;

х = -25 / -2;

х = 12,5

Мы знайшлі першапачатковую глыбіню другой свідравіны, цяпер можам знайсці першую:

12,5 + 3,4 = 15,9 м.

Пасля праведзеных дзеянняў запісваем адказ: 15,9 м, 12,5 м.

Два брата

Звярніце ўвагу, што дадзеная задача адрозніваецца ад усіх папярэдніх, так як па ўмове першапачаткова была аднолькавая колькасць прадметаў. Зыходзячы з гэтага, дапаможная табліца складаецца ў зваротным парадку, гэта значыць ад "стала" да "было".

Ўмова: двум братам далі пароўну арэхаў, але старэйшы аддаў свайму браціку 10, пасля гэтага арэшкаў у малодшага стала ў пяць разоў больш. Колькі ж зараз арэхаў у кожнага хлопчыка?

рашэнне

	было	стала
старэйшы	х + 10	х
малодшы	5х - 10	5х

Складаем раўнанне:

х + 10 = 5х - 10;

-4х = -20;

х = 5 - стала арэхаў у старэйшага брата;

5 * 5 = 25 - у малодшага брата.

Цяпер можна запісаць адказ: 5 арэхаў; 25 арэхаў.

пакупкі

У школу трэба купіць кнігі і сшыткі, першыя даражэй другое на 4,8 рублёў. Трэба разлічыць, колькі каштуе адна сшытак і адна кніга, калі пры куплі пяці кніг і дваццаць адной сшыткі заплацілі аднолькавую суму грошай.

Перш чым пераходзіць да вырашэння, варта адказаць на наступныя пытанні:

• Аб чым ідзе гаворка ў задачы?
• Колькі заплацілі?
• Што куплялі?
• Якія велічыні можна паміж сабой ўраўняць?
• Што трэба даведацца?
• Якую велічыню прыняць за х?

Калі вы адказалі на ўсе пытанні, то пераходзім да вырашэння. У дадзеным прыкладзе за велічыню х можна прыняць як цану адной сшыткі, так і кошт кнігі. Разгледзім два магчымыя варыянты:

1. х - кошт адной сшыткі, тады х + 4,8 - кошт кнігі. Зыходзячы з гэтага, атрымліваем раўнанне: 21х = 5 (х + 4,8).
2. х - кошт кнігі, тады х - 4,8 - цана сшыткі. Раўнанне мае выгляд: 21 (х - 4,8) = 5х.

Можаце для сябе выбраць больш зручны варыянт, далей вырашым два ўраўненні і параўнаем адказы, па выніку яны павінны супадаць.

першы спосаб

Рашэнне першага раўнання:

21х = 5 (х + 4,8);

4,2х = х + 4,8;

4,2х - х = 4,8;

3,2х = 4,8;

х = 1,5 (рублёў) - кошт адной сшыткі;

4,8 + 1,5 = 6,3 (рублёў) - кошт адной кнігі.

Яшчэ адзін спосаб рашэння дадзенага раўнання (адкрыццё дужак):

21х = 5 (х + 4,8);

21х = 5х + 24;

16х = 24;

х = 1,5 (рублёў) - кошт адной сшыткі;

1,5 + 4,8 = 6,3 (рублёў) - кошт адной кнігі.

другі спосаб

5х = 21 (х - 4,8);

5х = 21х - 100,8;

16х = 100,8;

х = 6,3 (рублёў) - кошт 1 кнігі;

6,3 - 4,8 = 1,5 (рублёў) - кошт адной сшыткі.

Як відаць з прыкладаў, адказы ідэнтычныя, такім чынам, задача вырашана дакладна. Сачыце за правільнасцю рашэння, у нашым прыкладзе не павінны адказы атрымлівацца адмоўнымі.

Сустракаюцца і іншыя задачы, якія вырашаюцца з дапамогай ўраўненні, напрыклад на рух. Разгледзім іх больш падрабязна ў наступных прыкладах.

Два аўтамабілі

У гэтым раздзеле гаворка пойдзе пра задачы на рух. Каб умець іх вырашаць, неабходна ведаць наступнае правіла:

S = V * T,

S - растояние, V - хуткасць, Т - час.

Паспрабуем разгледзець прыклад.

Два аўтамабілі выехалі адначасова з кропкі А ў кропку В. Першы праехаў ўсе адлегласць на адной хуткасці, другі першую палову шляху ехаў з хуткасцю 24 км / г, а другую - 16 км / ч. Трэба вызначыць хуткасць першага аўтамабіліста, калі ў пункт В яны прыйшлі адначасова.

Што нам спатрэбіцца для складання раўнання: галоўная пераменная V ₁ (хуткасць першага аўтамабіля), другарадныя: S - шлях, Т ₁ - час у шляху першага аўтамабіля. Раўнанне: S = V ₁ * Т _1.

Далей: другі аўтамабіль першую палову шляху (S / 2) праехаў з хуткасцю V ₂ = 24 км / г. Атрымліваем выраз: S / 2 = 24 * Т _2.

Наступную частку шляху ён праехаў з хуткасцю V ₃ = 16 км / г. Атрымліваем S / 2 = 16 * Т _3.

Далей з умовы відаць, што аўтамабілі прыбылі адначасова, такім чынам Т ₁ = Т ₂ + Т _3. Цяпер нам трэба будзе выказаць зменныя Т _1, Т _2, Т ₃ з папярэдніх нашых умоў. Атрымліваем раўнанне: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S прымаем за адзінку і вырашаем раўнанне:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V _{1 = (2/96) + (3/96} ) ;

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19,2 км / г.

Гэта і ёсць адказ. Задачы, якія вырашаюцца з дапамогай ўраўненні, складаныя толькі на першы погляд. Акрамя вышепредложеных, могуць сустрэцца задачы на працу, што гэта такое, разгледзім у наступным раздзеле.

Задача на працу

Для вырашэння такога тыпу заданні неабходна ведаць формулу:

A = VT,

дзе A - гэта праца, V - прадукцыйнасць.

Для больш падрабязнага апісання трэба прывесці прыклад. Тэма "Рашэнне задач раўнаннем" (6 клас) можа не ўтрымліваць падобных задач, так як гэта больш складаны ўзровень, але тым не менш прывядзем прыклад для азнаямлення.

Уважліва чытаем ўмова: два працоўныя працуюць разам і план выконваюць за дванаццаць дзён. Трэба вызначыць, колькі часу спатрэбіцца першаму работніку на выкананне той жа нормы самастойна. Вядома, што ён за два дні выконвае аб'ём працы, як другі працаўнік за тры дні.

Рашэнне задач на складанне раўнанняў патрабуе ўважлівага чытання ўмовы. Першае, што мы зразумелі з задачы, што праца не вызначана, значыць, прымаем яе за адзінку, то ёсць А = 1. Калі ў задачы гаворыцца аб пэўным колькасці дэталяў або літраў, то працу варта браць па гэтых дадзеных.

Пазначаем прадукцыйнасць першага і другога працоўнага праз V ₁ і V ₂ адпаведна, на гэтым этапе магчыма складанне наступнага раўнання:

1 = 12 (V ₁ + V _2).

Што нам кажа дадзенае раўнанне? Што ўсю працу выконваюць два чалавекі за дванаццаць гадзін.

Далей мы можам сцвярджаць: 2V ₁ = 3V _2. Таму што першы за два дні робіць столькі, колькі другі за тры. Мы атрымалі сістэму раўнанняў:

1 = 12 (V1 + V2);

2V ₁ = 3V _2.

Па выніку рашэння сістэмы мы атрымалі ураўненне з адной зменнай:

1 - 8V ₁ = 12V _1;

V ₁ = 1/20 = 0,05.

Гэта прадукцыйнасць працы першага рабочага. Цяпер мы можам знайсці час, за якое справіцца з усёй працай першы чалавек:

А = V ₁ * T _1;

1 = 0,05 * Т _1;

Т ₁ = 20.

Бо за адзінку часу быў прыняты дзень, то адказ: 20 дзён.

перафармулёўку задачы

Калі вы добра авалодалі навыкам вырашаць задачы на рух, а з задачамі на працу ў вас узнікаюць нейкія цяжкасці, то, магчыма, з работы атрымаць рух. Якім чынам? Калі браць апошні прыклад, то ўмова атрымаецца наступным: Алег і Дзіма рухаюцца насустрач адзін аднаму, сустракаюцца яны праз 12 гадзін. За колькі пераадолее шлях самастойна Алег, калі вядома, што ён за дзве гадзiны праязджае шлях, роўны шляху Дзімы за тры гадзіны.