Невырашальныя задачы: ўраўненні Навье-Стокса, гіпотэза Ходжа, гіпотэза Рымана. задачы тысячагоддзя

Невырашальныя задачы - гэта 7 найцікавых матэматычных праблем. Кожная з іх была прапанаваная ў свой час вядомымі навукоўцамі, як правіла, у выглядзе гіпотэз. Вось ужо шмат дзесяцігоддзяў над іх вырашэннем ламаюць галовы матэматыкі ва ўсім свеце. Тых, хто даб'ецца поспеху, чакае ўзнагароджанне ў мільён амерыканскіх даляраў, прапанаванае інстытутам Клэй.

перадгісторыя

У 1900 годзе вялікі нямецкі матэматык-універсал Дэвід Гільберт, прадставіў спіс з 23-х праблем.

Даследаванні, ажыццёўленыя з мэтай іх вырашэння, аказалі велізарны ўплыў на навуку 20 стагоддзя. На дадзены момант большасць з іх ужо перасталі быць загадкамі. У ліку нявырашаных або вырашаных часткова засталіся:

• праблема несупярэчлівасці арыфметычных аксіём;
• агульны закон узаемнасці на прасторы любога лікавага поля;
• матэматычнае даследаванне фізічных аксіём;
• даследаванне квадратычным формаў пры адвольных алгебраічных лікавых каэфіцыентах;
• праблема строгага абгрунтавання исчислительной геаметрыі Фёдара Шуберта;
• і інш.

Недаследаванымі з'яўляюцца: праблема распаўсюджвання на любую алгебраічную вобласць рацыянальнасці вядомай тэарэмы Кронекера і гіпотэза Рымана .

інстытут Клэй

Пад такой назвай вядомая прыватная некамерцыйная арганізацыя, штаб-кватэра якой знаходзіцца ў Кембрыджы, штат Масачусэтс. Яна была заснавана ў 1998 годзе выдатным матэматыкам А. Джэф і бізнэсмэнам Л. Клэй. Мэтай дзейнасці інстытута з'яўляецца папулярызацыя і развіццё матэматычных ведаў. Для яе дасягнення арганізацыя выдае прэміі навукоўцам і спансіруе шматабяцаючыя даследавання.

У пачатку 21 стагоддзя Матэматычны інстытут Клэй прапанаваў прэмію тым, хто вырашыць праблемы, якія вядомыя, як самыя складаныя невырашальныя задачы, назваўшы свой спіс Millennium Prize Problems. З «Спіса Гільберта» у яго ўвайшла толькі гіпотэза Рымана.

задачы тысячагоддзя

У спіс інстытута Клэй першапачаткова ўваходзілі:

• гіпотэза аб цыклах Ходжа;
• ўраўненні квантавай тэорыі Янга - Мілс;
• гіпотэза Пуанкаре ;
• праблема роўнасці класаў Р і NP;
• гіпотэза Рымана;
• ўраўненні Навье Стокса, аб існаванні і гладкасці яго рашэнняў;
• праблема Берч - Свиннертон-Дайер.

Гэтыя адкрытыя матэматычныя праблемы маюць вялікую цікавасць, так як могуць мець мноства практычных рэалізацый.

Што даказаў Рыгор Перэльман

У 1900 году вядомы вучоны-філосаф Анры Пуанкаре выказаў здагадку, што ўсякае односвязное кампактнае 3-мернае разнастайнасць без краю гомеоморфно 3-мернай сферы. Яе доказ у агульным выпадку не знаходзілася на працягу стагоддзя. Толькі ў 2002-2003 гадах пецярбургскі матэматык Г. Перэльман апублікаваў шэраг артыкулаў з рашэннем праблемы Пуанкаре. Яны вырабілі эфект бомбы, якая выбухнула. У 2010 годзе гіпотэза Пуанкаре была выключана са спісу «Нявырашаныя задачы» інстытута Клэй, а самому Перэльману было прапанавана атрымаць належнае яму немалая ўзнагароджанне, ад якога апошні адмовіўся, не патлумачыўшы прычын свайго рашэння.

Самае зразумелае тлумачэнне таго, што ўдалося даказаць расійскаму матэматыку, можна даць, прадставіўшы, што на абаранак (тор), нацягваюць гумовы дыск, а затым спрабуюць сцягнуць краю яго акружнасці ў адну кропку. Відавочна, што гэта немагчыма. Іншая справа, калі вырабіць гэты эксперымент з шарам. У такім выпадку быццам бы трохмерная сфера, атрыманая з дыска, акружнасць якога сцягнулі ў кропку гіпатэтычным шнуром, будзе трохмернай ў разуменні звычайнага чалавека, але двухмернай з пункту гледжання матэматыкі.

Пуанкаре выказаў здагадку, што трохмерная сфера з'яўляецца адзіным трохмерным «прадметам», паверхня якой можна сцягнуць у адну кропку, а Перэльману атрымалася гэта даказаць. Такім чынам, спіс «невырашальных задач» сёння складаецца з 6 праблем.

Тэорыя Янга-Мілс

Гэтая матэматычная праблема была прапанавана яе аўтарамі ў 1954-м годзе. Навуковая фармулёўка тэорыі мае наступны выгляд: для любой простай кампактнай калібровачнае групы квантавая прасторавая тэорыя, створаная Янгом і Милльсом, існуе, і пры гэтым мае нулявы дэфект масы.

Калі гаварыць на мове, зразумелай для звычайнага чалавека, ўзаемадзеяння паміж прыроднымі аб'ектамі (часціцамі, целамі, хвалямі і інш.) Дзеляцца на 4 тыпу: электрамагнітнае, гравітацыйнае, слабое і моцнае. Ужо шмат гадоў фізікі спрабуюць стварыць агульную тэорыю поля. Яна павінна стаць інструментам для тлумачэння ўсіх гэтых узаемадзеянняў. Тэорыя Янга-Мілс - гэта матэматычны мову, з дапамогай якога стала магчыма апісаць 3 з 4-х асноўных сіл прыроды. Яна не ўжываецца да гравітацыі. Таму нельга лічыць, што Янгу і Мілс ўдалося стварыць тэорыю поля.

Акрамя таго, нелінейнасць прапанаваных раўнанняў робіць іх вельмі складанымі для вырашэння. Пры малых канстантах сувязі іх атрымоўваецца набліжана вырашыць у выглядзе шэрагу тэорыі абурэнняў. Аднак пакуль незразумела, як можна вырашыць гэтыя ўраўненні пры моцнай сувязі.

Ўраўненні Навье-Стокса

З дапамогай гэтых выразаў апісваюцца такія працэсы, як паветраныя патокі, працягу вадкасцяў і турбулентнасць. Для некаторых прыватных выпадкаў аналітычныя рашэння ўраўненні Навье-Стокса ўжо былі знойдзеныя, аднак зрабіць гэта для агульнага пакуль нікому не ўдалося. У той жа час, колькасную мадэляванне для канкрэтных значэнняў хуткасці, шчыльнасці, ціску, часу і гэтак далей дазваляе дамагчыся выдатных вынікаў. Застаецца спадзявацца, што ў каго-небудзь атрымаецца прымяніць ўраўненні Навье-Стокса ў зваротным кірунку, т. Е. Вылічыць з іх дапамогай параметры, альбо даказаць, што метаду рашэння няма.

Задача Берч - Свиннертон-Дайер

Да катэгорыі «Нявырашаныя задачы» адносіцца і гіпотэза, прапанаваная англійскімі навукоўцамі з Кембрыджскага універсітэта. Яшчэ 2300 гадоў назад старажытнагрэцкі навуковец Эўклід даў поўнае апісанне рашэнняў ўраўненні x2 + y2 = z2.

Калі для кожнага з простых лікаў палічыць колькасць кропак на крывой па яго модулю, атрымаецца бясконцы набор цэлых лікаў. Калі канкрэтным чынам «склеіць» яго ў 1 функцыю комплекснай зменнай, тады атрымаецца дзета-функцыя Хасэ-Вейля для крывой трэцяга парадку, якая пазначаецца літарай L. Яна змяшчае інфармацыю аб паводзінах па модулю ўсіх простых лікаў адразу.

Браян Берч і Піцер Свиннертон-Дайер вылучылі гіпотэзу адносна эліптычных крывых. Згодна з ёй, структура і колькасць мноства яе рацыянальных рашэнняў звязаныя з паводзінамі L-функцыі ў адзінцы. Недаказаным на дадзены момант гіпотэза Берч - Свиннертон-Дайер залежыць ад апісання алгебраічных раўнанняў 3 ступені і з'яўляецца адзіным параўнальна простым агульным спосабам разліку рангу эліптычных крывых.

Каб зразумець практычную важнасць гэтай задачы, дастаткова сказаць, што ў сучаснай крыптаграфіі на эліптычных крывых заснаваны цэлы клас асіметрычных сістэм, і на іх ужыванні заснаваныя айчынныя стандарты лічбавага подпісу.

Роўнасць класаў p і np

Калі астатнія "Задачы тысячагоддзя» ставяцца да чыста матэматычным, то гэтая мае дачыненне да актуальнай тэорыі алгарытмаў. Праблема, якая тычыцца роўнасці класаў р і np, вядомая таксама, як праблема Кука-Левіна, зразумелай мовай можа быць сфармуляваная наступным чынам. Выкажам здагадку, што станоўчы адказ на нейкі пытанне можна праверыць досыць хутка, т. Е. За паліномны час (ПВ). Тады ці правільна зацвярджэнне, што адказ на яго можна даволі хутка адшукаць? Яшчэ прасцей гэтая задача гучыць так: ці сапраўды рашэнне задачы праверыць не цяжэй, чым яго знайсці? Калі роўнасць класаў р і np будзе калі-небудзь даказана, то ўсе праблемы падбору можна будзе вырашаць за ПВ. На дадзены момант шматлікія адмыслоўцы сумняваюцца ў праўдзівасці гэтага сцвярджэння, хоць не могуць даказаць адваротнае.

гіпотэза Рымана

Аж да 1859 года не было выяўлена якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б, як размяркоўваюцца простыя лікі сярод натуральных. Магчыма, гэта было звязана з тым, што навука займалася іншымі пытаннямі. Аднак да сярэдзіны 19 стагоддзя сітуацыя змянілася, і яны сталі аднымі з найбольш актуальных, якімі пачала займацца матэматыка.

Гіпотэза Рымана, якая з'явілася ў гэты перыяд - гэта здагадка аб тым, што ў размеркаванні простых лікаў існуе пэўная заканамернасць.

Сёння многія сучасныя навукоўцы лічаць, што калі яна будзе даказаная, то давядзецца перагледзець многія фундаментальныя прынцыпы сучаснай крыптаграфіі, складнікі аснову значнай часткі механізмаў электроннай камерцыі.

Паводле гіпотэзы Рымана, характар размеркавання простых лікаў, магчыма, істотна адрозніваецца ад меркаванага на дадзены момант. Справа ў тым, што да гэтага пакуль не было выяўлена якой-небудзь сістэмы ў размеркавання простых лікаў. Напрыклад, існуе праблема «двайнят», рознасць паміж якімі роўная 2. Гэтымі лікамі з'яўляюцца 11 і 13, 29. Іншыя простыя лікі ўтвараюць навалы. Гэта 101, 103, 107 і інш. Навукоўцы даўно падазравалі, што падобныя навалы існуюць і сярод вельмі вялікіх простых лікаў. Калі іх знойдуць, то стойкасць сучасных криптоключей апынецца пад пытаннем.

Гіпотэза аб цыклах Ходжа

Гэтая нявырашаная дагэтуль задача сфармуляваная ў 1941 годзе. Гіпотэза Ходжа мяркуе магчымасць апраксімацыі формы любога аб'екта шляхам «склейвання» разам простых тэл большай памернасці. Гэты спосаб быў вядомы і паспяхова ўжываецца досыць даўно. Аднак не вядома, да якой ступені можна вырабляць спрашчэнне.

Цяпер вы ведаеце, якія невырашальныя задачы існуюць на дадзены момант. Яны з'яўляюцца прадметам даследавання тысяч навукоўцаў ва ўсім свеце. Застаецца спадзявацца, што ў бліжэйшы час яны будуць вырашаны, а іх практычнае прымяненне дапаможа чалавецтву выйсці на новы віток тэхналагічнага развіцця.