Рацыянальныя лікі і дзеянні над імі

Паняцце пра ліках ставіцца да абстракцыям, якія характарызуюць аб'ект з колькаснай пункту гледжання. Яшчэ ў першабытным грамадстве ў людзей узнікла патрэба ў ліку прадметаў, таму з'явіліся лікавыя абазначэння. У далейшым яны сталі асновай матэматыкі як навукі.

Каб апераваць матэматычнымі паняццямі, неабходна, перш за ўсё, прадстаўляць, якія ж бываюць колькасці. Асноўных відаў лікаў некалькі. гэта:

1. Натуральныя - тыя, якія мы атрымліваем пры нумарацыі прадметаў (іх натуральным рахунку). Іх мноства абазначаюць лацінскай літарай N.

2. Цэлыя (іх мноства абазначаецца літарай Z). Сюды ставяцца натуральныя, супрацьлеглыя ім цэлыя адмоўныя лікі і нуль.

3. Рацыянальныя лікі (літара Q). Гэта тыя, якія магчыма прадставіць у выглядзе дробу, лічнік якой раўняецца цэламу ліку, а назоўнік - натуральнага. Усе цэлыя і натуральныя лікі ставяцца да рацыянальным.

4. Сапраўдныя (іх пазначаюць літарай R). Яны ўключаюць у сябе рацыянальныя і ірацыянальныя ліку. Ірацыянальнымі называюцца колькасці, атрыманыя з рацыянальных шляхам розных аперацый (вылічэнне лагарыфма, выманне кораня), самі не з'яўляюцца рацыянальнымі.

Такім чынам, любы з пералічаных мностваў з'яўляецца падмноствам ніжэйпералічаных. Ілюстрацыяй дадзенай тэзы служыць дыяграма ў выглядзе т. Зв. колаў Эйлера. Малюнак ўяўляе сабой некалькі канцэнтрычных авалаў, кожны з якіх размешчаны ўнутры іншага. Ўнутраны, самы малы па памеры авал (вобласць) пазначае мноства натуральных лікаў. Яго цалкам ахоплівае і ўключае ў сябе вобласць, якая сімвалізуе мноства цэлых лікаў, якая, у сваю чаргу, складзеная ўнутры вобласці рацыянальных лікаў. Знешні, самы вялікі авал, які ўключае ў сябе ўсе астатнія, пазначае масіў сапраўдных лікаў.

У дадзеным артыкуле мы разгледзім мноства рацыянальных лікаў, іх ўласцівасці і асаблівасці. Як ужо згадвалася, да іх належаць усе існуючыя ліку (станоўчыя, а таксама адмоўныя і нуль). Рацыянальныя лікі складаюць бясконцы шэраг, які мае наступныя ўласцівасці:

- дадзенае мноства упарадкавана, гэта значыць, узяўшы любую пару лікаў з гэтага шэрагу, мы заўсёды можам даведацца, якое з іх больш;

- узяўшы любую пару такіх лікаў, мы заўсёды можам змясціць паміж імі як мінімум яшчэ адно, а, такім чынам, і цэлы шэраг такіх - такім чынам, рацыянальныя лікі ўяўляюць сабой бясконцы шэраг;

- усё чатыры арыфметычныя дзеянні над такімі лікамі магчымыя, вынікам іх заўсёды з'яўляецца вызначаны лік (таксама рацыянальнае); выключэнне складае дзяленне на 0 (нуль) - яно немагчыма;

- любыя рацыянальныя лікі могуць быць прадстаўлены ў выглядзе дзесятковых дробаў. Гэтыя дробу могуць быць альбо канчатковымі, альбо бясконцымі перыядычнымі.

Каб параўнаць два ліку, якія адносяцца да мноства рацыянальных, неабходна памятаць:

- любое станоўчае лік больш за нуль;

- любое адмоўнае лік заўсёды менш за нуль;

- пры параўнанні двух адмоўных рацыянальных лікаў больш тое з іх, чыя абсалютная велічыня (модуль) менш.

Як вырабляюцца дзеянні з рацыянальнымі лікамі?

Каб скласці два такіх колькасці, якія маюць аднолькавы знак, трэба скласці іх абсалютныя велічыні і паставіць перад сумай агульны знак. Для складання лікаў з рознымі знакамі вынікае з большага значэння адняць меншы і паставіць знак таго з іх, чыё абсалютнае значэнне больш.

Для аднімання аднаго рацыянальнага колькасці з іншага дастаткова да першага ліку дадаць супрацьлеглае другому. Для множання двух лікаў трэба перамнажаць значэння іх абсалютных велічынь. Атрыманы вынік будзе станоўчым, калі сомножители маюць адзін і той жа знак, і адмоўным, калі розныя.

Дзяленне вырабляецца аналагічна, гэта значыць знаходзіцца прыватнае абсалютных велічынь, а перад вынікам ставіцца знак «+» у выпадку супадзення знакаў дзеліва і дзельніка і знак «-» ў выпадку іх несупадзення.

Ступені рацыянальных лікаў выглядаюць як творы некалькіх сомножителей, роўных паміж сабой.