Сума вуглоў трохвугольніка. Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка

Трохкутнік ўяўляе сабой шматкутнік, які мае тры бакі (тры кута). Часцей за ўсё боку пазначаюць маленькімі літарамі, адпаведнымі загалоўным літарах, якімі пазначаюць супрацьлеглыя вяршыні. У дадзеным артыкуле мы азнаёмімся з відамі гэтых геаметрычных фігур, тэарэмай, якая вызначае, чаму раўняецца сума вуглоў трохвугольніка.

Віды па велічыні кутоў

Адрозніваюць наступныя віды шматкутніка з трыма вяршынямі:

• остроугольная, у якога ўсе куты вострыя;
• прастакутны, які мае адзін прамы кут, пры гэтым бакі, яго ўтвараюць, называюць катэтамі, а бок, якая размешчана процілегла прамым куце, называецца гіпатэнузай;
• тупоугольный, калі адзін кут тупы ;
• роўнабаковы, у якога два бакі роўныя, і называюцца яны бакавымі, а трэцяя - падставай трохвугольніка;
• роўнабаковага, які мае ўсе тры роўныя бакі.

ўласцівасці

Вылучаюць асноўныя ўласцівасці, якія характэрныя для кожнага віду трыкутніка:

• насупраць большай боку заўсёды размяшчаецца большы кут, і наадварот;
• насупраць роўных па велічыні бакоў знаходзяцца роўныя вуглы, і наадварот;
• у любога трыкутніка ёсць два вострых кута;
• знешні кут больш у параўнанні з любым унутраным вуглом, ня сумежных з ім;
• сума якіх-небудзь двух кутоў заўсёды менш 180 градусаў;
• знешні кут раўняецца суме астатніх двух кутоў, якія ня межуют з ім.

Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка

Тэарэма сцвярджае, што калі скласці ўсе куты дадзенай геаметрычнай фігуры, якая размешчана на эўклідавай плоскасці, то іх сума будзе складаць 180 градусаў. Паспрабуем даказаць дадзеную тэарэму.

Няхай у нас ёсць адвольны трохкутнік з вяршынямі КМН. Праз вяршыню М правядзем прамую паралельна прамой КН (яшчэ гэтую прамую называюць прамой Еўкліда). На ёй адзначым кропку А такім чынам, каб пункту Да і А былі размешчаны з розных бакоў прамой МН. Мы атрымліваем роўныя куты АМН і КНМ, якія, як і ўнутраныя, ляжаць накрыж і ўтвараюцца сечнай МН сумесна з прамымі КН і МА, якія з'яўляюцца паралельнымі. З гэтага вынікае, што сума вуглоў трохвугольніка, размешчаных пры вяршынях М і Н, раўняецца памеры кута КМА. Усе тры кута складаюць суму, якая роўная суме вуглоў КМА і мкн. Паколькі дадзеныя куты з'яўляюцца ўнутранымі аднабаковымі адносна паралельных прамых КН і МА пры сечнай КМ, іх сума складае 180 градусаў. Тэарэма даказаная.

следства

З вышэй даказанай тэарэмы выцякае наступнае следства: любы трохкутнік мае два вострых кута. Каб гэта даказаць, дапусцім, што дадзеная геаметрычная фігура мае ўсяго адзін востры кут. Таксама можна выказаць здагадку, што ні адзін з кутоў не з'яўляецца вострым. У гэтым выпадку павінна быць як мінімум два кута, велічыня якіх роўная або больш 90 градусаў. Але тады сума кутоў будзе больш, чым 180 градусаў. А такога быць не можа, паколькі згодна тэарэме сума вуглоў трохвугольніка роўная 180 ° - не больш і не менш. Вось гэта і трэба было даказаць.

Ўласцівасць знешніх кутоў

Чаму роўная сума вуглоў трохвугольніка, якія з'яўляюцца знешнімі? Адказ на гэтае пытанне можна атрымаць, ужыўшы адзін з двух спосабаў. Першы заключаецца ў тым, што неабходна знайсці суму кутоў, якія ўзятыя па адным пры кожнай вяршыні, гэта значыць трох кутоў. Другі мае на ўвазе, што трэба знайсці суму ўсіх шасці кутоў пры вяршынях. Для пачатку разбярэмся з першым варыянтам. Такім чынам, трохкутнік змяшчае шэсць знешніх кутоў - пры кожнай вяршыні па два. Кожная пара мае роўныя паміж сабой куты, паколькі яны з'яўляюцца вертыкальнымі:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Акрамя гэтага, вядома, што знешні кут ў трохвугольніка роўны суме двух ўнутраных, якія ня межуются з ім. такім чынам,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

З гэтага атрымліваецца, што сума знешніх кутоў, якія ўзятыя па адным каля кожнай вяршыні, будзе роўная:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

З улікам таго, што сума кутоў раўняецца 180 градусам, можна сцвярджаць, што ∟А + ∟В + ∟С = 180 °. А гэта значыць, што ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180 ° = 360 °. Калі ж ужываецца другі варыянт, то сума шасці кутоў будзе, адпаведна, большай у два разы. Гэта значыць сума знешніх кутоў трыкутніка будзе складаць:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

прастакутны трыкутнік

Чаму раўняецца сума кутоў прастакутнага трыкутніка, якія з'яўляюцца на вострыя? Адказ на гэтае пытанне, зноў жа, выцякае з тэарэмы, якая сцвярджае, што куты ў трыкутніку ў суме складаюць 180 градусаў. А гучыць наша сцвярджэнне (ўласцівасць) так: у прастакутным трыкутніку вострыя куты ў суме даюць 90 градусаў. Дакажам яго праўдзівасць. Няхай нам дадзены трохкутнік КМН, у якога ∟Н = 90 °. Неабходна даказаць, што ∟К + ∟М = 90 °.

Такім чынам, згодна з тэарэме аб суме вуглоў ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. У нашым ўмове сказана, што ∟Н = 90 °. Вось і атрымліваецца, ∟К + ∟М + 90 ° = 180 °. Гэта значыць ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. Менавіта гэта нам і трэба было даказаць.

У дадатак да вышэйапісаным уласцівасцях прастакутнага трыкутніка, можна дадаць і такія:

• куты, якія ляжаць супраць катэт, з'яўляюцца на вострыя;
• гіпатэнуза трохкутнай больш любога з катэт;
• сума катэт больш гіпатэнузы;
• катэт трыкутніка, які ляжыць насупраць вугла 30 градусаў, у два разы менш гіпатэнузы, то ёсць раўняецца яе палове.

Як яшчэ адна ўласцівасць дадзенай геаметрычнай фігуры можна вылучыць тэарэму Піфагора. Яна сцвярджае, што ў трыкутніку з кутом 90 градусаў (прастакутным) сума квадратаў катэт раўняецца квадрату гіпатэнузы.

Сума кутоў роўнабаковага трыкутніка

Раней мы казалі, што роўнабаковы называюць шматкутнік з трыма вяршынямі, які змяшчае дзве роўныя бакі. Вядома такое ўласцівасць дадзенай геаметрычнай фігуры: куты пры яго падставе роўныя. Дакажам гэта.

Возьмем трохкутнік КМН, які з'яўляецца роўнабаковы, КН - яго падстава. Ад нас патрабуецца даказаць, што ∟К = ∟Н. Такім чынам, дапусцім, што МА - гэта бісектрыса нашага трыкутніка КМН. Трохкутнік МКА з улікам першага прыкметы роўнасці роўны трыкутніку МНА. А менавіта па ўмове дадзена, што КМ = НМ, МА з'яўляецца агульнай бокам, ∟1 = ∟2, паколькі МА - гэта бісектрыса. Выкарыстоўваючы факт роўнасці гэтых двух трыкутнікаў, можна сцвярджаць, што ∟К = ∟Н. Значыць, тэарэма даказана.

Але нас цікавіць, якая сума вуглоў трохвугольніка (роўнабаковага). Паколькі ў гэтых адносінах у яго няма сваіх асаблівасцяў, будзем адштурхоўвацца ад тэарэмы, разгледжанай раней. Гэта значыць, мы можам сцвярджаць, што ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, або 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (паколькі ∟К = ∟Н). Дадзеная ўласцівасць даказваць не будзем, паколькі сама тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка была даказаная раней.

Акрамя разгледжаных уласцівасцяў аб кутах трыкутніка, маюць месца і такія немалаважныя сцвярджэнні:

• у роўнабаковага трыкутніка вышыня, якая была апушчана на падставу, з'яўляецца адначасова медыянай, Бісектрысай кута, які знаходзіцца паміж роўнымі бакамі, а таксама воссю сіметрыі яго заснавання;
• медыяны (бісектрысы, вышыні), якія праведзены да бакавых баках такой геаметрычнай фігуры, роўныя.

роўнабаковага трыкутніка

Яго яшчэ называюць правільным, гэта той трохкутнік, у якога роўныя ўсе бакі. А таму роўныя таксама і куты. Кожны з іх складае 60 градусаў. Дакажам гэта ўласцівасць.

Дапусцім, што ў нас ёсць трохкутнік КМН. Нам вядома, што КМ = НМ = КН. А гэта значыць, што згодна з уласцівасці кутоў, размешчаных пры падставе ў роўнабаковага трыкутніка, ∟К = ∟М = ∟Н. Паколькі згодна тэарэме сума вуглоў трохвугольніка ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °, то 3 х ∟К = 180 ° або ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Такім чынам, сцвярджэнне даказана. Як відаць з вышэй прыведзенага доказы на падставе тэарэмы, сума вуглоў роўнабаковага трыкутніка, як і сума вуглоў любога іншага трыкутніка, складае 180 градусаў. Зноў даказваць гэтую тэарэму няма неабходнасці.

Існуюць яшчэ такія ўласцівасці, характэрныя для роўнабаковага трыкутніка:

• медыяна, бісектрыса, вышыня ў такой геаметрычнай постаці супадаюць, а іх даўжыня вылічаецца як (а х √3): 2;
• калі апісаць вакол дадзенага шматкутніка акружнасць, то яе радыус будзе роўны (а х √3): 3;
• калі ўпісаць у роўнабаковага трыкутніка акружнасць, то яе радыус будзе складаць (а х √3): 6;
• плошчу гэтай геаметрычнай фігуры вылічаецца па формуле: (а2 х √3): 4.

Тупоугольный трохкутнік

Паводле азначэння тупоугольного трыкутніка, адзін з яго кутоў знаходзіцца ў прамежку ад 90 да 180 градусаў. Але ўлічваючы тое, што два астатніх кута дадзенай геаметрычнай фігуры вострыя, можна зрабіць выснову, што яны не перавышаюць 90 градусаў. Такім чынам, тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка працуе пры разліку сумы кутоў у тупоугольном трыкутніку. Атрымліваецца, мы смела можам сцвярджаць, абапіраючыся на вышэйзгаданы тэарэму, што сума кутоў тупоугольного трыкутніка роўная 180 градусам. Зноў-такі, дадзеная тэарэма не патрабуе паўторнага доказе.