Цотнасць функцыі

Цотнасць і няцотнасць функцыі з'яўляюцца адным з асноўных яе уласцівасцяў, і даследаванне функцыі на цотнасць займае вялікую частку школьнага курса па матэматыцы. Яна ў шмат вызначае характар паводзін функцыі і значна палягчае пабудова адпаведнага графіка.

Вызначым цотнасць функцыі. Наогул кажучы, даследуецца функцыю лічаць цотным, калі для процілеглых значэнняў незалежнай зменнай (x), якія знаходзяцца ў яе вобласці вызначэння, адпаведныя значэння y (функцыі) апынуцца роўнымі.

Дамо больш строгае вызначэнне. Разгледзім некаторую функцыю f (x), якая зададзена ў галіне D. Яна будзе цотным, калі для любой кропкі x, якая знаходзіцца ў вобласці вызначэння:

• -x (супрацьлеглая кропка) таксама ляжыць у дадзенай галіне вызначэння,

• f (-x) = f (x).

З прыведзенага вызначэння вынікае ўмова, неабходнае для вобласці вызначэння падобнай функцыі, а менавіта, сіметрычнасць адносна кропкі Аб, якая з'яўляецца пачаткам каардынат, паколькі калі некаторая кропка b ўтрымліваецца ў галіне вызначэння цотнай, то якая адпавядае кропка - b таксама ляжыць у гэтай галіне. З вышэйсказанага, такім чынам, выцякае выснову: цотная функцыя мае сіметрычны ў адносінах да восі ардынат (Oy) выгляд.

Як на практыцы вызначыць цотнасць функцыі?

Хай функцыянальная залежнасць задаецца з дапамогай формулы h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Вынікаючы алгарытме, у выніку ўздзеяння непасрэдна з вызначэння, даследуем перш за ўсё яе абсяг вызначэння. Відавочна, што яна вызначана для ўсіх значэнняў аргументу, гэта значыць першая ўмова выканана.

Наступным крокам падставім замест аргументу (x) яго супрацьлеглае значэнне (-x).
атрымліваем:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Паколькі складанне задавальняе коммутативному (Перамяшчальная) законе, то відавочна, h (-x) = h (x) і зададзеная функцыянальная залежнасць - цотны.

Праверым цотнасць функцыі h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). Вынікаючы таго ж алгарытму, атрымліваем, што h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. Вынесьлі мінус, у выніку, маем
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). Такім чынам, h (x) - няцотны.

Дарэчы, варта нагадаць, што ёсць функцыі, якія немагчыма класіфікаваць па гэтых прыкметах, іх называюць ні цотнымі, ні няцотнымі.

Цотныя функцыі валодаюць побач цікавых уласцівасцяў:

• у выніку складанні падобных функцый атрымліваюць цотны;
• у выніку аднімання такіх функцый атрымліваюць цотны;
• функцыя, зваротная цотным, таксама цотны;
• у выніку множання двух такіх функцый атрымліваюць цотны;
• у выніку множання няцотным і цотнай функцый атрымліваюць няцотных;
• у выніку дзялення няцотным і цотнай функцый атрымліваюць няцотных;
• вытворная такой функцыі - няцотны;
• калі ўзвесці няцотных функцыю ў квадрат, атрымаем цотны.

Цотнасць функцыі можна выкарыстоўваць пры вырашэнні раўнанняў.

Каб вырашыць раўнанне тыпу g (x) = 0, дзе левая частка ўраўненні ўяўляе з сябе цотны функцыю, будзе цалкам дастаткова знайсці яе рашэння для неадмо ¢ ных значэнняў зменнай. Атрыманыя карані ўраўненні неабходна аб'яднаць з супрацьлеглымі лікамі. Адзін з іх падлягае праверцы.

Гэта ж ўласцівасць функцыі паспяхова ўжываюць для вырашэння нестандартных задач з параметрам.

Напрыклад, ці ёсць якое-небудзь значэнне параметру a, пры якім раўнанне 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 будзе мець тры кораня?

Калі ўлічыць, што пераменная ўваходзіць у раўнанне ў цотных ступенях, то зразумела, што замена х на - х зададзенае раўнанне не зменіць. Адсюль вынікае, што калі некаторы лік з'яўляецца яго коранем, то ім жа з'яўляецца і супрацьлеглае лік. Выснова відавочны: карані ўраўненні, адрозныя ад нуля, уваходзяць у мноства яго рашэнняў «парамі».

Ясна, што сам лік 0 коранем ўраўненні не з'яўляецца, гэта значыць лік каранёў падобнага ўраўненні можа быць толькі цотных і, натуральна, ні пры якім значэнні параметру яно не можа мець трох каранёў.

А вось лік каранёў ўраўненні 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 можа быць няцотнай, прычым для любога значэння параметру. Сапраўды, лёгка праверыць, што мноства каранёў дадзенага раўнання змяшчае рашэння «парамі». Праверым, ці з'яўляецца 0 коранем. Пры падстаноўцы яго ў раўнанне, атрымліваем 2 = 2. Такім чынам, акрамя «парных» 0 таксама з'яўляецца коранем, што і даказвае іх няцотная колькасць.