Што такое арыфметыка? Асноўная тэарэма арыфметыкі. двайковая арыфметыка

Што такое арыфметыка? Калі чалавецтва пачатак выкарыстоўваць колькасці і працаваць з імі? Куды сыходзяць карані такіх звычайных паняццяў, як лікі, дробу, адніманне, складанне і множанне, якія чалавек зрабіў неаддзельнай часткай свайго жыцця і светапогляду? Старажытнагрэцкія розумы захапляліся такімі навукамі, як матэматыка, арыфметыка і геаметрыя, як найцудоўнейшымі сімфоніямі чалавечай логікі.

Магчыма, арыфметыка не так глыбокая, як іншыя навукі, але што было б з імі, забудзь чалавек элементарную табліцу множання? Звыклае нам лагічнае мысленне, якія выкарыстоўваюць лічбы, дробу і іншыя інструменты, нялёгка давалася людзям і доўгі час было недаступна для нашых продкаў. Фактычна да развіцця арыфметыкі ні адна вобласць чалавечых ведаў не была па-сапраўднаму навуковай.

Арыфметыка - гэта азбука матэматыкі

Арыфметыка - гэта навука пра ліках, з якой любы чалавек пачынае знаёмства з займальным светам матэматыкі. Як казаў М. В. Ламаносаў, арыфметыка - гэта брама вучонасці, якія адкрываюць нам шлях да миропознанию. А яго ж праўда, хіба пазнанне свету можна аддзяліць ад веды лічбаў і літар, матэматыкі і гаворкі? Магчыма, у былыя часы, але не ў сучасным свеце, дзе бурнае развіццё навукі і тэхнікі дыктуе свае законы.

Слова "арыфметыка" (грэч. "Арифмос") грэцкага паходжання, азначае "лік". Яна вывучае лік і ўсё што можа быць з імі звязана. Гэта свет лікаў: розныя дзеянні над лікамі, лікавыя правілы, рашэнне задач, якія звязаны з множаннем, адніманне і т. Д.

Агульнапрынята лічыць, што арыфметыка з'яўляецца пачатковай прыступкай матэматыкі і цвёрдай асновай для больш складаных яе падзелаў, такіх, як алгебра, матанализ, вышэйшая матэматыка і т. Д.

Асноўны аб'ект арыфметыкі

Аснова арыфметыкі - гэта цэлы лік, ўласцівасці і заканамернасці якога разглядаюцца ў вышэйшай арыфметыцы або тэорыі лікаў. Па сутнасці, ад таго, наколькі дакладны падыход узяты ў разглядзе такога невялікага блока, як натуральны лік, залежыць трываласць усяго будынка - матэматыкі.

Таму на пытанне аб тым, што такое арыфметыка, можна адказаць проста: гэта навука пра ліках. Так, пра звыклай сямёрцы, дзявятцы і ўсім гэтым разнастайным супольнасці. І падобна таму, як і добрых, і самых пасрэдных вершаў не напішаш без элементарнай азбукі, без арыфметыкі ня вырашыць нават элементарнай задачы. Вось чаму ўсе навукі прасунуліся толькі пасля развіцця арыфметыкі і матэматыкі, быўшы да гэтага ўсяго толькі наборам здагадак.

Арыфметыка - навука-фантом

Што такое арыфметыка - натуральная навука або фантом? На самай справе, як разважалі старажытнагрэцкія філосафы, ні лікаў, ні фігур у рэальнасці не існуе. Гэта ўсяго толькі фантом, які ствараецца ў чалавечым мысленні пры разглядзе навакольнага асяроддзя з яе працэсамі. На самай справе, што такое лік? Нідзе вакол мы не бачым нічога падобнага, што можна было б назваць лікам, хутчэй, лік - гэта спосаб чалавечага розуму даследаваць свет. А можа быць, гэта вывучэнне нас саміх знутры? Пра гэта спрачаюцца філосафы шмат стагоддзяў запар, таму даць вычарпальны адказ мы не бярэмся. Так ці інакш, арыфметыцы атрымалася настолькі трывала заняць свае пазіцыі, што ў сучасным свеце ніхто не можа лічыцца сацыяльна адаптаваным без ведання яе асноў.

Як з'явілася натуральны лік

Вядома, асноўны аб'ект, якім аперуе арыфметыка, - натуральны лік, такое, як 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... і г.д. Арыфметыка натуральных лікаў з'яўляецца вынікам рахункі звычайных прадметаў, напрыклад, кароў на лузе. Усё ж такі вызначэнне "шмат" ці "мала" калісьці перастала задавальняць людзей, і прыйшлося вынаходзіць больш дасканалыя тэхнікі рахунку.

Але сапраўдны прарыў здарыўся, калі чалавечая думка дайшла да таго, што можна адным і тым жа лікам "два" пазначыць і 2 кілаграмы, і 2 цагліны, і 2 дэталі. Справа ў тым, што трэба абстрагавацца ад формаў, уласцівасцяў і сэнсу прадметаў, тады можна вырабляць некаторыя дзеянні з гэтымі прадметамі ў выглядзе натуральных лікаў. Так нарадзілася арыфметыка лікаў, якая далей развівалася і шырылася, займаючы ўсе вялікія пазіцыі ў жыцці грамадства.

Такія паглыбленыя паняцці колькасці, як нуль і адмоўны лік, дробу, абазначэння лікаў лічбамі і іншымі спосабамі, маюць вельмі багатую і найцікавую гісторыю развіцця.

Арыфметыка і практычныя егіпцяне

Два самых старажытных спадарожніка чалавека ў даследаванні навакольнага свету і вырашэнні бытавых задач - гэта арыфметыка і геаметрыя.

Лічыцца, што гісторыя арыфметыкі бярэ свой пачатак на Старажытным Усходзе: у Індыі, Егіпце, Вавілон і Кітаі. Так, папірус Ринда егіпецкага паходжання (названы так, паколькі належаў аднайменнага ўладальніку), датаваны XX ст. да н.э, акрамя іншых каштоўных даных змяшчае разлажэнне адной дробу на суму дробаў з рознымі назоўніка і лічнік, роўным адзінцы.

Напрыклад: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Але ў чым сэнс такога складанага разлажэння? Справа ў тым, што егіпецкі падыход не трываў абстрагавацца разважанняў пра ліках, наадварот, вылічэнні вырабляліся толькі з практычнага мэтай. Гэта значыць егіпцянін стане займацца такой справай, як разлікі, выключна для таго, каб пабудаваць грабніцу, напрыклад. Трэба было вылічыць даўжыню рэбры збудаванні, і гэта прымушала садзіцца чалавека за папірус. Як бачна, егіпецкі прагрэс у разліках быў выкліканы, хутчэй за масавым, будаўніцтвам, чым любоўю да навукі.

Па гэтай прычыне разлікі, знойдзеныя на папірус, нельга назваць разважаннямі на тэму дробаў. Хутчэй за ўсё, гэта практычная нарыхтоўка, якая дапамагала ў далейшым вырашаць задачы з дробамі. Старажытныя егіпцяне, якія не ведалі табліцы множання, выраблялі даволі доўгія вылічэнні, раскладзеныя на мноства подзадач. Магчыма, гэта адна з такіх подзадач. Няцяжка заўважыць, што разлікі з такімі нарыхтоўкамі вельмі працаёмкія і малаперспектыўнасць. Можа быць, па гэтай прычыне мы не бачым вялікага ўкладу Старажытнага Егіпта ў развіццё матэматыкі.

Старажытная Грэцыя і філасофская арыфметыка

Многія веды Старажытнага Усходу былі паспяхова асвоены старажытнымі грэкамі, вядомымі аматарамі адцягненых, абстрактных і філасофскіх разважанняў. Практыка іх цікавіла не менш, але лепшых тэарэтыкаў і мысляроў знайсці складана. Гэта пайшло на карысць навуцы, паколькі ў арыфметыку немагчыма паглыбіцца, ня разарваўшы яе з рэальнасцю. Вядома, можна памнажаць 10 кароў і 100 літраў малака, але далёка прасунуцца не ўдасца.

Думаючыя глыбока грэкі пакінулі значны след у гісторыі, і іх працы дайшлі да нас:

• Еўклід і «Пачала».
• Піфагор.
• Архімед.
• Эратасфен.
• Зянон.
• Анаксагор.

І, вядома, якія ператвараюць усё ў філасофію грэкі, а асабліва прадаўжальнікі справы Піфагора, настолькі былі захопленыя лікамі, што лічылі іх сакрамэнтам гармоніі свету. Колькасці настолькі былі вывучаны і даследаваны, што некаторым з іх і іх парам прыпісвалі асаблівыя ўласцівасці. напрыклад:

• Учыненыя лікі - тыя, якія роўныя суме ўсіх сваіх дзельнікаў, акрамя самога ліку (6 = 1 + 2 + 3).
• Дружалюбныя лікі - гэта такі лік, адно з якіх роўна суме ўсіх дзельнікаў другога, і наадварот (піфагарэйцы ведалі толькі адну такую пару: 220 і 284).

Грэкі, якія лічылі, што навуку трэба любіць, а не быць з ёй дзеля выгады, дасягнулі вялікіх поспехаў, даследуючы, гуляючы і складаючы колькасці. Трэба адзначыць, што не ўсе іх пошукі знайшлі шырокае прымяненне, некаторыя з іх засталіся толькі "для прыгажосці".

Ўсходнія мысляры Сярэднявечча

Сапраўды гэтак жа і ў Сярэднія стагоддзі арыфметыка сваім развіццём абавязана усходнім сучаснікам. Індыйцы перадалі нам лічбы, якія мы актыўна выкарыстоўваем, такое паняцце як "нуль", і пазіцыйны варыянт сістэмы вылічэння, звыклы сучаснаму ўспрыманню. Ад Аль-кашы, які ў 15 стагоддзі працаваў у Самаркандзе, мы атрымалі ў спадчыну дзесятковыя дробы, без якіх цяжка ўявіць сучасную арыфметыку.

Шмат у чым знаёмства Еўропы з дасягненнямі Усходу стала магчыма дзякуючы працы італьянскага вучонага Леанарда Фібаначы, які напісаў твор "Кніга абака", якія знаёмяць з усходнімі навінамі. Яно стала краевугольным каменем развіцця алгебры і арыфметыкі, даследчай і навуковай дзейнасці ў Еўропе.

Расійская арыфметыка

І, нарэшце, арыфметыка, якая знайшла сваё месца і ўкаранела ў Еўропе, стала распаўсюджвацца і на рускія землі. Першая руская арыфметыка выйшла ў 1703 годзе - гэта была кніга аб арыфметыцы Лявонція Магніцкага. Доўгі час яна заставалася адзінай навучальнай кіраўніцтвам па матэматыцы. Яна змяшчае пачатковыя моманты алгебры і геаметрыі. Лічбы, якія выкарыстаў у прыкладах першы ў Расіі падручнік арыфметыкі, арабскія. Хоць арабскія лічбы сустракаліся і раней, на гравюрах, датуецца 17 стагоддзем.

Сама кніга ўпрыгожаная малюнкамі Архімеда і Піфагора, а на першым лісце - выява арыфметыкі ў выглядзе жанчыны. Яна сядзіць на троне, пад ёй напісана на іўрыце слова, якое пазначае імя Бога, а на прыступках, якія вядуць да пасаду, напісаныя словы «дзяленне», «множанне», «складанне» і т. Д. Можна толькі ўявіць, якое значэнне здраджвалі такім ісцінам, якія цяпер лічацца штодзённай з'явай.

Падручнік з 600 старонак апісвае як асновы накшталт табліцы складання і множання, так і дадатку да навігацыйным навуках.

Не дзіўна, што аўтар абраў малюнка грэцкіх мысляроў для сваёй кнігі, бо ён і сам быў запалонены прыгажосцю арыфметыкі, кажучы: «Арыфметыка ёсць числительница, ёсць художество сумленнае, независтное ...». Такі падыход да арыфметыцы цалкам абгрунтаваны, бо менавіта яе паўсюднае ўкараненне можна лічыць пачаткам бурнага развіцця навуковай думкі ў Расіі і агульнай адукацыі.

Няпростыя простыя лікі

Простае лік - гэта такое натуральны лік, якое мае толькі 2 станоўчых дзельніка: 1 і само сябе. Усе астатнія колькасці, не лічачы 1, называюць складовымі. Прыклады простых лікаў: 2, 3, 5, 7, 11, і ўсе іншыя, якія не маюць іншых дзельнікаў, акрамя ліку 1 і сябе самога.

Што ж тычыцца колькасці 1, то яно на адмысловым рахунку - існуе дамаўленне, што яго трэба лічыць ні простым, ні састаўным. Простае на першы погляд простае лік тоіць мноства неразгаданай таямніц ўнутры сябе.

Тэарэма Еўкліда кажа, што простых лікаў бясконцае мноства, а Эратасфен прыдумаў адмысловае арыфметычнае «рэшата», якое адсейвае няпростыя колькасці, пакідаючы толькі простыя.

Яе сутнасць у тым каб падкрэсліваць першае невычеркнутое лік, а ў наступным выкрэсліваць тыя, якія яму кратныя. Шматкроць паўтараем гэтую працэдуру - і атрымліваем табліцу простых лікаў.

Асноўная тэарэма арыфметыкі

Сярод назіранняў аб простых ліках трэба адмысловай выявай згадаць асноўную тэарэму арыфметыкі.

Асноўная тэарэма арыфметыкі абвяшчае, што любы цэлы лік, большае 1, альбо з'яўляецца простым, альбо яго можна раскласці на твор простых лікаў з дакладнасцю да парадку прытрымлівання сомножителей, прычым адзіным чынам.

Асноўная тэарэма арыфметыкі даказваецца досыць грувастка, ды і разуменне яе ўжо не падобна на найпростыя асновы.

На першы погляд простыя лікі - элементарнае паняцце, аднак гэта не так. Фізіка таксама некалі лічыла атам элементарным, пакуль не знайшла ўнутры яго цэлую сусвет. Простым лікам прысвечаны выдатны аповяд матэматыка Дона Цагира «Першыя пяцьдзесят мільёнаў простых лікаў».

Ад «трох яблочек» да дэдукты законаў

Што паводле ісьціны можна назваць армаваным падмуркам ўсёй навукі - гэта законы арыфметыкі. Яшчэ ў дзяцінстве ўсе сутыкаюцца з арыфметыкай, вывучаючы колькасць ножак і ручак у лялек, колькасць кубікаў, яблочек і т. Д. Так мы вывучаем арыфметыку, якая далей пераходзіць у больш складаныя правілы.

Уся наша жыццё знаёміць нас з правіламі арыфметыкі, якія сталі для простага чалавека найбольш карыснымі з усяго, што дае навука. Вывучэнне лікаў - гэта "арыфметыка-малышка", якая знаёміць чалавека з светам лікаў у выглядзе лічбаў яшчэ ў раннім дзяцінстве.

Вышэйшая арыфметыка - дэдуктыўны навука, якая вывучае законы арыфметыкі. Большасць з іх нам вядома, хоць, магчыма, мы і не ведаем іх дакладных фармулёвак.

Закон складання і множання

Два любых натуральных колькасці a і b могуць быць выяўленыя ў выглядзе сумы a + b, якая таксама будзе лікам натуральным. Датычна складання дзейнічаюць наступныя законы:

• Коммутативный, які кажа, што ад перастаноўкі складнікаў месцамі сума не змяняецца, ці a + b = b + a.
• Асацыятыўны, які кажа, што сума не залежыць ад спосабу групоўкі складнікаў месцамі, або a + (b + c) = (a + b) + c.

Правілы арыфметыкі, такія, як складанне, - адны з элементарных, але іх выкарыстоўваюць усе навукі, не кажучы ўжо пра паўсядзённае жыццё.

Два любых натуральных колькасці a і b могуць быць выяўленыя ў творы a * b або a * b, якое таксама з'яўляецца лікам натуральным. Да твору дастасавальныя тыя ж коммутативные і асацыятыўныя законы, што і да складання:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Цікава, што існуе закон, які аб'ядноўвае складанне і множанне, званы таксама размеркавальным, або дыстрыбутыўнага законам:

a (b + c) = ab + ac

Гэты закон фактычна вучыць нас працаваць з дужкамі, раскрываючы іх, тым самым мы можам працаваць ужо з больш складанымі формуламі. Гэта менавіта тыя законы, якія будуць весці нас па дзіўную і няпростага свеце алгебры.

Закон арыфметычнага парадку

Закон парадку чалавечая логіка выкарыстоўвае кожны дзень, зьвяраючы гадзіны і лічачы купюры. І, тым не менш, і яго трэба аформіць у выглядзе канкрэтных фармулёвак.

Калі мы маем два натуральных колькасці a і b, то магчымыя наступныя варыянты:

• a роўна b, або a = b;
• a менш b, ці a
• a больш b, ці a> b.

З трох варыянтаў справядлівым можа быць толькі адзін. Асноўны закон, які кіруе парадкам, кажа: калі a

Існуюць таксама і законы, якія злучаюць парадак з дзеяннямі множання і складання: калі a

Законы арыфметыкі вучаць нас працаваць з лікамі, знакамі і дужкамі, ператвараючы ўсё ў стройную сімфонію лікаў.

Пазіцыйныя і непозиционные сістэмы вылічэння

Можна сказаць, што лікі - гэта матэматычны мову, ад выгоды якога залежыць многае. Існуе мноства сістэм падліку, якія, як і алфавіты розных моў, адрозніваюцца паміж сабой.

Разгледзім сістэмы злічэння з пункту гледжання ўплыву пазіцыі на колькаснае значэнне лічбы на гэтай пазіцыі. Так, напрыклад, рымская сістэма з'яўляецца непозиционной, дзе кожны лік кадуецца пэўным наборам спецыяльных знакаў: I / V / X / L / C / D / M. Яны роўныя, адпаведна, чыслах 1/5/10/50/100/500 / 1000. У такой сістэме лічба не змяняе свайго колькаснага вызначэння ў залежнасці ад таго, на якой яна стаіць пазіцыі: першай, другой і т. Д. Каб атрымаць іншыя колькасці, трэба скласці базавыя. напрыклад:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Больш звыклая для нас сістэма злічэння з выкарыстаннем арабскіх лічбаў з'яўляецца пазіцыйнай. У такой сістэме разрад колькасці вызначае колькасць лічбаў, напрыклад, трехразрядные лікі: 333, 567 і г.д. Вага любога разраду залежыць ад пазіцыі, на якой знаходзіцца тая ці іншая лічба, напрыклад лічба 8 на другой пазіцыі мае значэнне 80. Гэта характэрна для дзесятковай сістэмы, існуюць і іншыя пазіцыйныя сістэмы, напрыклад двайковая.

двайковая арыфметыка

Нам знаёмая дзесятковая сістэма вылічэння, якая складаецца з одноразрядных лікаў і многоразрядных. Лічба злева ў многоразрядного лікі ў дзесяць разоў больш па значнасці той, якая справа. Так, мы прывыклі чытаць 2, 17, 467 і т. Д. Цалкам іншая логіка і падыход у раздзела, які носіць назву "двайковая арыфметыка". Гэта і нядзіўна, бо двайковая арыфметыка створаная не для чалавечай логікі, а для кампутарнай. Калі арыфметыка лікаў адбылася ад рахункі прадметаў, што ў далейшым абстрагавацца ад уласцівасцяў прадмета да "голай" арыфметыцы, то з кампутарам такое не пройдзе. Каб можна было падзяліцца сваімі ведамі з ЭВМ, чалавеку прыйшлося вынайсці такую мадэль вылічэння.

Двайковая арыфметыка працуе з двайковым алфавітам, які складаецца ўсяго з 0 і 1. А выкарыстанне гэтага алфавіту называецца двайковай сістэмай злічэння.

Адрозненне двайковай арыфметыкі ад дзесятковай у тым, што значнасць пазіцыі злева больш не ў 10, а ў 2 разы. Двайковыя лікі маюць від 111, 1001 і т. Д. Як разумець такія лічбы? Такім чынам, разгледзім лік 1100:

1. Першая лічба злева - 1 * 8 = 8, памятаючы пра тое, што чацвёртая лічба, а значыць, яе трэба памножыць на 2, атрымліваем пазіцыю 8.
2. Другая лічба 1 * 4 = 4 (пазіцыя 4).
3. Трэцяя лічба 0 * 2 = 0 (пазіцыя 2).
4. Чацвёртая лічба 0 * 1 = 0 (пазіцыя 1).
5. Такім чынам, наша лік 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Гэта значыць пры пераходзе на новы разрад злева яго значнасць у двайковай сістэме памнажаецца на 2, а ў дзесятковай - на 10. Такая сістэма мае адзін мінус: гэта занадта вялікі рост разрадаў, якія неабходныя для запісу лікаў. Прыклады прадстаўлення дзесятковых лікаў у выглядзе двочиных можна паглядзець у наступнай табліцы.

Дзесятковыя лікі ў двайковым выглядзе намаляваныя ніжэй.

Выкарыстоўваюцца таксама і васьмярковы, і шаснаццатковы сістэмы вылічэння.

Гэтая загадкавая арыфметыка

Што такое арыфметыка, «двойчы два» або нязведаныя таямніцы лікаў? Як бачым, арыфметыка, можа, і здаецца на першы погляд просты, але яе невідавочных лёгкасць зманлівая. Яе можна вывучаць і дзецям разам з цётачкай Савой з мультыка «Арыфметыка-малышка», а можна пагрузіцца ў глыбока навуковыя пошукі ледзь не філасофскага парадку. У гісторыі яна прайшла шлях ад рахунку прадметаў да пакланення прыгажосці лікаў. Адно толькі дакладна вядома: з усталяваннем асноўных пастулатаў арыфметыкі ўся навука можа абапірацца на яе моцнае плячо.