Адукацыя, Навука
Што такое натуральны лік? Гісторыя, вобласць прымянення, ўласцівасці
Матэматыка вылучылася з агульнай філасофіі прыкладна ў шостым стагоддзі да н. э., і з гэтага моманту пачалося яе пераможнае шэсце па свеце. Кожны этап развіцця ўносіў нешта новае - элементарны рахунак эвалюцыянаваў, зменьваўся ў дыферэнцыяльнае і інтэгральнае вылічэнне, змяняліся стагоддзя, формулы станавіліся ўсё больш заблытанай, і надышоў той момант, калі «пачалася самая складаная матэматыка - зь яе зьніклі ўсе лікі». Але што ж ляжала ў аснове?
пачатак пачаткаў
Натуральныя лікі з'явіліся нароўні з першымі матэматычнымі аперацыямі. Раз карэньчык, два карэньчык, тры карэньчык ... З'явіліся яны дзякуючы індыйскім навукоўцам, якія вывелі першую пазіцыйную сістэму злічэння.
У старажытнасці чыслах надавалася містычнае значэнне, найвялікшы матэматык Піфагор лічыў, што лік ляжыць у аснове стварэння свету нароўні з асноўнымі стыхіямі - агнём, вадой, зямлёй, паветрам. Пабачанае толькі з матэматычнай боку, то што такое натуральны лік? Поле натуральных лікаў пазначаецца як N і ўяўляе сабой бясконцы шэраг з лікаў, якія з'яўляюцца цэлымі і станоўчымі: 1, 2, 3, ... + ∞. Нуль выключаецца. Выкарыстоўваецца ў асноўным для падліку прадметаў і ўказанні парадку.
Што такое натуральны лік ў матэматыцы? аксіёмы Пеано
Поле N з'яўляецца базавым, на якое абапіраецца элементарная матэматыка. З цягам часу вылучалі поля цэлых, рацыянальных, комплексных лікаў.
Працы італьянскага матэматыка Джузэпэ Пеано зрабілі магчымай далейшую структурызацыі арыфметыкі, дамагліся яе фармальнасці і падрыхтавалі глебу для далейшых высноваў, якія выходзілі за рамкі вобласці поля N.
- Адзінка лічыцца натуральным лікам.
- Лік, якое ідзе за натуральным лікам, з'яўляецца натуральным.
- Перад адзінкай няма ніякага натуральнага ліку.
- Калі лік b варта як за лікам c, так і за лікам d, то c = d.
- Аксіёма індукцыі, якая ў сваю чаргу паказвае, што такое натуральны лік: калі некаторы зацвярджэнне, якое залежыць ад параметру, дакладна для колькасці 1, то пакладзем, што яно працуе і для ліку n з поля натуральных лікаў N. Тады зацвярджэнне дакладна і для n = 1 з поля натуральных лікаў N.
Асноўныя аперацыі для поля натуральных лікаў
Так як поле N стала першым для матэматычных разлікаў, то менавіта да яго ставяцца як вобласці вызначэння, так і вобласці значэнняў шэрагу аперацый ніжэй. Яны бываюць замкнёнымі і няма. Асноўным адрозненнем з'яўляецца тое, што замкнёныя аперацыі гарантавана пакідаюць вынік у рамках мноства N па-за залежнасці ад таго, якія колькасці задзейнічаныя. Дастаткова таго, што яны натуральныя. Зыход астатніх лікавых узаемадзеянняў ўжо не гэтак адназначны і наўпрост залежыць ад таго, што за колькасці ўдзельнічаюць у выражэнні, так як ён можа супярэчыць асноўнаму азначэнні. Такім чынам, замкнёныя аперацыі:
- складанне - x + y = z, дзе x, y, z ўключаны ў полі N;
- множанне - x * y = z, дзе x, y, z ўключаны ў полі N;
- узвядзенне ў ступень - x y, дзе x, y ўключаны ў поле N.
Астатнія аперацыі, вынік якіх можа не існаваць у кантэксце вызначэння "што такое натуральны лік", наступныя:
- адніманне - x - y = z. Поле натуральных лікаў дапускае яго толькі ў тым выпадку, калі x больш y;
- дзяленне - x / y = z. Поле натуральных лікаў дапускае яго толькі ў тым выпадку, калі z дзеліцца на y без астатку, то ёсць нацэліліся.
Ўласцівасці лікаў, якія належаць полі N
Усе далейшыя матэматычныя развагі будуць грунтавацца на наступных уласцівасцях, самых трывіяльных, але ад гэтага не менш важных.
- Перамяшчальная ўласцівасць складання - x + y = y + x, дзе колькасці x, y ўключаны ў поле N. Або ўсім вядомае "ад перамены месцаў складнікаў сума не мяняецца".
- Перамяшчальная ўласцівасць множання - x * y = y * x, дзе колькасці x, y ўключаны ў поле N.
- Сочетательное ўласцівасць складання - (x + y) + z = x + (y + z), дзе x, y, z ўключаны ў поле N.
- Сочетательное ўласцівасць множання - (x * y) * z = x * (y * z), дзе колькасці x, y, z ўключаны ў поле N.
- размеркавальная ўласцівасць - x (y + z) = x * y + x * z, дзе колькасці x, y, z ўключаны ў поле N.
табліца Піфагора
Адным з першых крокаў у спазнаньні школьнікамі ўсёй структуры элементарнай матэматыкі пасля таго, як яны ўсьвядомілі для сябе, якія колькасці называюцца натуральнымі, з'яўляецца табліца Піфагора. Яе можна разглядаць не толькі з пункту гледжання навукі, але і як найкаштоўнейшы навуковы помнік.
Дадзеная табліца множання зведала з цягам часу шэраг змен: з яе прыбралі нуль, а лікі ад 1 да 10 пазначаюць самі сябе, без уліку парадкаў (сотні, тысячы ...). Яна ўяўляе сабой табліцу, у якой загалоўкі радкоў і слупкоў - лікі, а змесціва вочак іх скрыжавання роўна іх жа твору.
У практыцы навучання апошніх дзесяцігоддзяў назіралася неабходнасць завучвання табліцы Піфагора "па парадку", гэта значыць спачатку ішло Завучванне. Множанне на 1 выключалася, бо вынік быў роўны 1 або большаму множніку. Між тым у табліцы няўзброеным вокам можна заўважыць заканамернасць: твор лікаў расце на адзін крок, які роўны загалоўку радка. Такім чынам, другі множнік паказвае нам, колькі разоў трэба ўзяць першы, каб атрымаць шуканае твор. Дадзеная сістэма не ў прыклад зручней той, што практыкавалася ў сярэднія вякі: нават разумеючы, што такое натуральны лік і наколькі яно трывіяльна, людзі прымудраліся ўскладняць сабе паўсядзённы рахунак, карыстаючыся сістэмай, якая грунтавалася на ступенях двойкі.
Падмноства як калыска матэматыкі
На дадзены момант поле натуральных лікаў N разглядаецца толькі як адно з падмноства комплексных лікаў, але гэта не робіць іх менш каштоўнымі ў навуцы. Натуральны лік - першае, што спазнае дзіця, вывучаючы сябе і навакольны свет. Раз пальчык, два пальчык ... Дзякуючы яму ў чалавека фармуецца лагічнае мысленне, а таксама ўменне вызначаць прычыну і выводзіць следства, падрыхтоўваючы глебу для вялікіх адкрыццяў.
Similar articles
Trending Now