Адукацыя, Навука
Што такое рацыянальныя лікі? Якія бываюць яшчэ?
Што такое рацыянальныя лікі? Старэйшыя школьнікі і студэнты матэматычных спецыяльнасцяў, верагодна, з лёгкасцю адкажуць на гэтае пытанне. А вось тым, хто па прафесіі далёкі ад гэтага, будзе больш складана. Што ж гэта на самай справе такое?
Сутнасць і абазначэнне
Пад рацыянальнымі лікамі маюць на ўвазе такія, якія могуць быць прадстаўлены ў выглядзе звычайнай дробу. Станоўчыя, адмоўныя, а таксама нуль таксама ўваходзяць у гэта мноства. Лічнік дробу пры гэтым павінен быць цэлым, а назоўнік - ўяўляць сабой натуральны лік.
Гэта мноства ў матэматыцы пазначаецца як Q і называецца "полем рацыянальных лікаў". Туды ўваходзяць усе цэлыя і натуральныя, якія абазначаюць адпаведна як Z і N. Само ж мноства Q ўваходзіць у мноства R. Менавіта гэтай літарай пазначаюць так званыя рэчавыя або сапраўдныя лікі.
прадстаўленне
Як ужо было сказана, рацыянальныя лікі - гэта мноства, у якое ўваходзяць усе цэлыя і дробавыя значэння. Яны могуць быць прадстаўлены ў розных формах. Па-першае, у выглядзе звычайнай дробу: 5/7, 1/5, 11/15 і т. Д. Зразумела, цэлыя лікі таксама могуць быць запісаныя ў падобным выглядзе: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 і т. д. Па-другое, яшчэ адзін від прадстаўлення - дзесятковы дроб з канчатковай дробавай часткай: 0,01, -15,001006 і т. д. Гэта, бадай, адна з найбольш часта сустракаемых формаў.
Але ёсць яшчэ і трэцяя - перыядычная дроб. Такі від сустракаецца не вельмі часта, але ўсё ж выкарыстоўваецца. Напрыклад, дроб 10/3 можа быць запісана як 3,33333 ... ці 3, (3). Пры гэтым розныя ўяўленні будуць лічыцца аналагічнымі лікамі. Гэтак жа будуць называцца і роўныя паміж сабой дробу, напрыклад 3/5 і 6/10. Падобна на тое, што стала ясна, што такое рацыянальныя лікі. Але чаму для іх абазначэння выкарыстоўваюць менавіта гэты тэрмін?
паходжанне назвы
Слова "рацыянальны" у сучаснай беларускай мове ўвогуле выпадку нясе трохі іншае значэнне. Гэта хутчэй "разумны", "абдуманы". Але матэматычныя тэрміны блізкія да прамога сэнсу гэтага запазычанага слова. У латыні "ratio" - гэта "стаўленне", "дроб" ці "дзяленне". Такім чынам, назва адлюстроўвае сутнасць таго, што такое рацыянальныя лікі. Зрэшты, і другое значэнне
Дзеянні з імі
Пры вырашэнні матэматычных задач мы пастаянна сутыкаемся з рацыянальнымі лікамі, самі не ведаючы гэтага. І яны валодаюць побач цікавых уласцівасцяў. Усе яны ідуць небудзь з вызначэння мноства, альбо з дзеянняў.
Па-першае, рацыянальныя лікі валодаюць уласцівасцю адносіны парадку. Гэта азначае, што паміж дзвюма лічбамі можа існаваць толькі адно суадносіны - яны альбо роўныя адзін аднаму, альбо адно больш ці менш іншага. Т. е .:
альбо a = b; альбо a> b, альбо a
Акрамя таго, з гэтага ўласцівасці таксама выцякае транзітыўнасць суадносіны. То бок, калі a больш b, b больш c, то a больш c. На мове матэматыкі гэта выглядае наступным чынам:
(a> b) ^ (b> c) => (a> c).
Па-другое, існуюць арыфметычныя дзеянні з рацыянальнымі лікамі, то ёсць складанне, адніманне, дзяленне і, зразумела, множанне. Пры гэтым у працэсе пераўтварэнняў можна таксама вылучыць шэраг уласцівасцяў.
- a + b = b + a (перамена месцаў складнікаў, коммутативность);
- 0 + a = a + 0;
- (a + b) + c = a + (b + c) (асацыятыўнасць);
- a + (-a) = 0;
- ab = ba;
- (ab) c = a (bc) (дыстрыбутыўнага);
- ax 1 = 1 xa = a;
- ax (1 / a) = 1 (пры гэтым a ня роўнае 0);
- (a + b) c = ac + ab;
- (a> b) ^ (c> 0) => (ac> bc).
Калі ж гаворка ідзе пра звычайных, а не дзесятковых, дробах або цэлых лічбах, дзеянні з імі могуць выклікаць пэўныя цяжкасці. Так, складанне і адніманне магчымыя толькі пры роўнасці назоўніка. Калі яны першапачаткова розныя, варта знайсці агульную, выкарыстоўваючы множанне ўсёй дробу на тыя ці іншыя ліку. Параўнанне таксама часцей за ўсё магчымае толькі пры выкананні гэтай умовы.
Падзел і перамнажэннем звычайных дробаў вырабляюцца ў адпаведнасці з досыць простымі правіламі. Прывядзенне да агульнага назоўніка ня трэба. Асобна перамнажаюцца лічнік і назоўнік, пры гэтым у працэсе выканання дзеянні па магчымасці дроб трэба максімальна скараціць і спрасціць.
Што тычыцца дзялення, то гэта дзеянне аналагічна першаму з невялікай розніцай. Для другой дробу варта знайсці зваротную, то ёсць
Нарэшце, яшчэ адна ўласцівасць, уласцівае рацыянальным лікаў, называюць аксіёмай Архімеда. Часта ў літаратуры таксама сустракаецца назва "прынцып". Ён сапраўдны для ўсяго мноства сапраўдных лікаў, аднак не ўсюды. Так, гэты прынцып не дзейнічае для некаторых сукупнасцей рацыянальных функцый. Па сутнасці ж, гэтая аксіёма азначае, што пры існаванні двух велічынь a і b заўсёды можна ўзяць дастатковую колькасць a, каб перасягнуць b.
вобласць прымянення
Такім чынам, тым, хто даведаўся або ўспомніў, што такое рацыянальныя лікі, становіцца ясна, што яны выкарыстоўваюцца паўсюдна: у бухгалтэрыі, эканоміцы, статыстыцы, фізіцы, хіміі і іншых навуках. Натуральна, таксама месца ім ёсць у матэматыцы. Не заўсёды ведаючы, што маем справу з імі, мы пастаянна выкарыстоўваем рацыянальныя лікі. Яшчэ маленькія дзеці, вучачыся лічыць прадметы, разразаючы на часткі яблык або выконваючы іншыя простыя дзеянні, сутыкаюцца з імі. Яны літаральна нас атачаюць. І ўсё ж для вырашэння некаторых задач іх недастаткова, у прыватнасці, на прыкладзе тэарэмы Піфагора можна зразумець неабходнасць увядзення паняцці ірацыянальных лікаў.
Similar articles
Trending Now