Дзе ўжываецца метад найменшых квадратаў

Метад найменшых квадратаў (МНК) дазваляе ацэньваць розныя велічыні, выкарыстоўваючы вынікі мноства вымярэнняў, якія змяшчаюць выпадковыя памылкі.

характарыстыка МНК

Асноўная ідэя дадзенага метаду складаецца ў тым, што ў якасці крытэрыю дакладнасці рашэння задачы разглядаецца сума квадратаў памылак, якую імкнуцца звесці да мінімуму. Пры выкарыстанні гэтага метаду можна ўжываць як колькасны, так і аналітычны падыход.

У прыватнасці, у якасці лікавай рэалізацыі метад найменшых квадратаў на ўвазе правядзенне як мага большай колькасці вымярэнняў невядомай выпадковай велічыні. Прычым, чым больш вылічэнняў, тым дакладней будзе рашэнне. На гэтым мностве вылічэнняў (зыходных дадзеных) атрымліваюць іншае мноства меркаваных рашэнняў, з якога затым выбіраецца найлепшае. Калі мноства рашэнняў параметризировать, то метад найменшых квадратаў звядзецца да пошуку аптымальнага значэння параметраў.

У якасці аналітычнага падыходу да рэалізацыі МНК на мностве зыходных дадзеных (вымярэнняў) і меркаваным мностве рашэнняў вызначаецца некаторая функцыянальная залежнасць (функцыянал), якую можна выказаць формулай, якую атрымліваюць у якасці некаторай гіпотэзы, якая патрабуе пацверджання. У гэтым выпадку метад найменшых квадратаў зводзіцца да знаходжання мінімуму гэтага функцыяналу на мностве квадратаў памылак зыходных дадзеных.

Заўважце, што не самі памылкі, а менавіта квадраты памылак. Чаму? Справа ў тым, што часцяком адхіленні вымярэнняў ад дакладнага значэння бываюць як станоўчымі, так і адмоўнымі. Пры вызначэнні сярэдняй хібнасці вымярэнняў простае сумаванне можа прывесці да памылковага высновы аб якасці ацэнкі, паколькі ўзаемнае знішчэнне станоўчых і адмоўных значэнняў панізіць магутнасць выбаркі мноства вымярэнняў. А, такім чынам, і дакладнасць ацэнкі.

Для таго каб гэтага не адбылося, і сумуюць квадраты адхіленняў. Нават больш за тое, каб выраўнаваць памернасць вымяранай велічыні і выніковай ацэнкі, з сумы квадратаў хібнасцяў здабываюць квадратны корань.

Пэўныя праграмы МНК

МНК шырока выкарыстоўваецца ў розных галінах. Напрыклад, у тэорыі верагоднасцяў і матэматычнай статыстыцы метад выкарыстоўваецца для вызначэння такой характарыстыкі выпадковай велічыні, як сярэдняе квадратическое адхіленне, якая вызначае шырыню дыяпазону значэнняў выпадковай велічыні.

У матэматычным аналізе і розных галінах фізікі, якія выкарыстоўваюць для вываду або пацверджання гіпотэз дадзены апарат, МНК ўжываюць, у прыватнасці, для ацэнкі набліжанага прадстаўлення функцый, вызначаных на лікавых мноствах, больш простымі функцыямі, якія дапускаюць аналітычныя пераўтварэнні.

Яшчэ адно прымяненне гэтага метаду - аддзяленне карыснага сігналу ад накладзенага на яго шуму ў задачах фільтрацыі.

Яшчэ адна вобласць прымянення МНК - эканаметрыка. Тут дадзены метад настолькі шырока выкарыстоўваецца, што для яго былі вызначаны некаторыя спецыяльныя мадыфікацыі.

Большасць задач эканаметрыка, так ці інакш, зводзіцца да вырашэння сістэм лінейных эканаметрычнага раўнанняў, якія апісваюць паводзіны некаторых сістэм - структурных мадэляў. Асноўны элемент кожнай такой мадэлі - часовай шэраг, які ўяўляе сабой набор некаторых характарыстык, значэння якіх залежаць як ад часу, так і ад шэрагу іншых фактараў. Пры гэтым можа назірацца адпаведнасць паміж ўнутранымі (эндагеннымі) характарыстыкамі мадэлі і знешнімі (экзагеннымі) характарыстыкамі. Гэта адпаведнасць выяўляецца звычайна ў выглядзе сістэм лінейных эканамічных раўнанняў.

Характэрнай асаблівасцю такіх сістэм з'яўляецца наяўнасць узаемасувязяў паміж асобнымі зменнымі, якія з аднаго боку, ўскладняюць яе, з другога - перавызначаць. Што з'яўляецца прычынай з'яўлення нявызначанасці пры выбары вырашэння такіх сістэм. Дадатковым фактарам, якая ўскладняецца рашэнне такіх задач, з'яўляецца залежнасць параметраў мадэляў ад часу.

Асноўная мэта задач эканаметрыка - ідэнтыфікацыя мадэляў, гэта значыць вызначэнне структурных узаемасувязяў ў абранай мадэлі, а таксама ацэньванне шэрагу яе параметраў.

Аднаўленне залежнасцяў ў часовых шэрагах, складнікаў мадэлі, можа быць выканана, у прыватнасці, з дапамогай як прамога МНК, так і некаторых яго мадыфікацый, а таксама шэрагу іншых метадаў. Спецыяльныя мадыфікацыі МНК пры вырашэнні такіх задач адмыслова развітыя для дазволу тых ці іншых праблем, якія ўзнікаюць у працэсе колькаснага рашэння сістэм раўнанняў.

У прыватнасці, адна з такіх праблем звязана з наяўнасцю зыходных абмежаванняў на параметры, якія трэба ацэньваць. Напрыклад, даход прыватнага прадпрыемства можа быць выдаткаваны на спажыванне або на яго развіццё. Такім чынам, сума частак дадзеных двух відаў выдаткаў заведама роўная 1. У сістэму эканаметрычнага раўнанняў гэтыя часткі могуць уваходзіць незалежна адзін ад аднаго. Такім чынам, можна ацаніць розныя віды марнаванняў з дапамогай МНК, без уліку зыходнага абмежаванні, а затым падкарэктаваць атрыманы вынік. Такі спосаб рашэння названы ўскосным метадам найменшых квадратаў.

Ускосны метад найменшых квадратаў (КМНК) выкарыстоўваецца для дакладна вызначанай структурнай мадэлі. Алгарытм КМНК мяркуе выкананне наступных дзеянняў:

1) пераўтварэнне структурнай мадэлі ў больш простую, прыведзеную форму шляхам увядзення дадатковай залежнасці;

2) адзнака з дапамогай звычайнага МНК прыведзеных каэфіцыентаў для кожнага ўраўненні спрошчанай мадэлі;

3) атрыманыя каэфіцыенты просты формы мадэлі пераўтворацца ў параметры зыходнай структурнай мадэлі.

Варта адзначыць, што для сверхидентифицируемых сістэм КМНК не выкарыстоўваюць, так як у гэтым выпадку немагчыма заданне адназначных ацэнак параметраў структурнай мадэлі. Для такіх мадэляў можа быць выкарыстана яшчэ адна мадыфікацыя МНК - двухшагового метад найменшых квадратаў (ДМНК).

Алгарытм ДМНК наступны:

1) на аснове спрошчанай мадэлі разлічаны для сверхидентифицируемого ўраўненні значэння ўнутраных зменных, якія ўтрымліваюцца ў правай частцы раўнання;

2) падставіць атрыманыя значэнні зменных на месца адпаведных фактычных зменных у зыходнай мадэлі і яшчэ раз ўжыць звычайны МНК.

Падрабязнае апісанне ўскоснага і двухшагового метадаў найменшых квадратаў прыведзена ў многіх падручніках па эканаметрыка. Асаблівасць гэтых метадаў, роўна як і звычайнага МНК, у іх універсальнасці, якая дазваляе выкарыстоўваць іх для ацэнкі каэфіцыентаў любы структурнай мадэлі ў які заўгодна прадметнай вобласці.