Тэарэма Віета і трохі гісторыі

Тэарэма Віета - гэта паняцце знаёма са школьных часоў практычна кожнаму. Але «знаёма» яно на самай справе? Мала хто сутыкаецца з ім у паўсядзённым жыцці. Але і не ўсе тыя, хто мае справу з матэматыкай, часам цалкам разумеюць глыбокі сэнс і вялікае значэнне гэтай тэарэмы.

Тэарэма Віета шмат у чым палягчае працэс рашэння велізарнай колькасці матэматычных задач, якія ў выніку зводзяцца да вырашэння квадратнага ўраўнення :

ax2 + bx + c = 0, дзе а ≠ 0.

Гэта стандартны выгляд квадратнага ўраўнення. У большасці выпадкаў квадратнае раўнанне мае такія каэфіцыенты a, b, і з, якія можна лёгка спрасціць, падзяліўшы іх на а. У гэтым выпадку мы прыйдзем да выгляду квадратнага ўраўнення, званаму прыведзеных (калі першы каэфіцыент ўраўненні роўны 1):

x2 + px + q = 0

Менавіта для такога віду раўнанняў і зручная ў выкарыстанні тэарэма Віета. Асноўным сэнсам тэарэмы з'яўляецца тое, што значэнні каранёў прыведзенага кв.уравнения можна лёгка вызначыць вусна, ведаючы асноўнае суадносіны тэарэмы:

• сума каранёў роўная ліку, процілеглага другому каэфіцыент (г.зн. -p);
• твор роўна трэцяга каэфіцыенту (г.зн. q).

А менавіта, x1 + x2 = -p і x1 * x2 = q.

Рашэнне большасці задач у школьным курсе матэматыкі зводзіцца да простых парам лікаў, якія лёгка знаходзяцца пры валоданні мінімальнымі навыкамі вусных вылічэнняў. І гэта не павінна выклікаць ніякіх праблем. Існуючая зваротная тэарэма Віета дазваляе па наяўнай пары лікаў, якія з'яўляюцца каранямі некаторага квадратнага ўраўнення, лёгка аднавіць яго каэфіцыенты і запіс у стандартным выглядзе.

Уменне выкарыстоўваць тэарэму Віета як інструмент, шмат у чым палягчае рашэнне матэматычных і фізічных задач у курсе сярэдняй школы. Асабліва гэты навык незаменны пры падрыхтоўцы навучэнцаў старэйшых класаў да ЕГЭ.

Зразумеўшы значнасць такога простага і дзейснага матэматычнага інструмента, міжволі задумваешся пра чалавека, упершыню яго адкрыў.

Франсуа Віета - знакаміты французскі навуковец, які пачынаў сваю працоўную дзейнасць як адвакат. Але, відавочна, матэматыка была яго прызначэннем. Знаходзячыся на каралеўскай службе ў якасці дарадцы, ён праславіўся тым, што здолеў прачытаць перахопленая зашыфраванае пасланне караля Іспаніі ў Нідэрланды. Гэта давала францускага караля Генрыха III магчымасць ведаць пра ўсе намерах яго праціўнікаў.

Паступова прылучаючыся да матэматычным ведам, Франсуа Віета прыйшоў да высновы, што павінна існаваць цесная сувязь паміж найноўшымі у той час пошукамі «алгебраистов» і глыбокім геаметрычным спадчынай старажытных. У ходзе навуковых пошукаў ім была распрацавана і сфармулявана практычна ўся элементарная алгебра. Ён упершыню ўвёў выкарыстанне літарных велічынь у матэматычны апарат, выразна размежаваўшы паняцці: колькасць, велічыня і іх адносіны. Віета даказаў, што, выконваючы аперацыі ў сімвальным выглядзе, можна вырашыць задачу для агульнага выпадку, практычна для любых значэнняў зададзеных велічынь.

Яго пошукі для рашэння ўраўненняў вялікіх ступеняў, чым другая, выліліся ў тэарэму, якая зараз вядомая, як абагульненая тэарэма Віета. Яна мае вялікі прыкладное значэнне, і яе прымяненне дае магчымасць хуткага рашэння раўнанняў больш высока парадку.

Адно з уласцівасцяў гэтай тэарэмы заключаецца ў наступным: твор усіх каранёў ўраўненні n-й ступені роўна яго вольнаму сябру. Гэта ўласцівасць часта ўжываецца пры вырашэнні раўнанняў трэцяй або чацвёртай ступені з мэтай паніжэння парадку мнагачлена. Калі ў мнагачлена n-й ступені ёсць цэлыя карані, то іх можна лёгка вызначыць метадам простага падбору. І далей выканаўшы дзяленне мнагачлена на выраз (х-х1), атрымаем мнагачлена (n-1) -й ступені.

У канцы хочацца адзначыць, што тэарэма Віета з'яўляецца адной з самых знакамітых тэарэм школьнага курса алгебры. А яго імя займае годнае месца сярод імёнаў вялікіх матэматыкаў.