Як знайсці гіпатэнузу прастакутнага трыкутніка

Сярод шматлікіх разлікаў, што праводзяцца для вылічэнні тых ці іншых велічынь розных геаметрычных фігур, ёсць знаходжанне гіпатэнузы трыкутніка. Нагадаем, што трохвугольнікам называецца шматграннік, які мае тры кута. Ніжэй будуць прыведзены некалькі спосабаў разліку гіпатэнузы розных трыкутнікаў.

Першапачаткова паглядзім, як знайсці гіпатэнузу прастакутнага трыкутніка. Для тых, хто прызабыў, прастакутным называецца трохкутнік, які мае кут 90 градусаў. Бок трыкутніка, размешчаная на супрацьлеглым баку прамога кута, называецца гіпатэнузай. Да таго ж, яна з'яўляецца найбольш доўгім бокам трыкутніка. У залежнасці ад вядомых велічынь даўжыня гіпатэнузы разлічваецца наступным чынам:

• Вядомыя даўжыні катэт. Гіпатэнуза ў гэтым выпадку вылічаецца, выкарыстоўваючы тэарэму Піфагора, якая гучыць наступным чынам: квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэт. Калі разгледзець прастакутны трыкутнік BKF, дзе BK і KF катэты, а FB - гіпатэнуза, то FB2 = BK2 + KF2. З вышэйсказанага вынікае, што пры разліку даўжыні гіпатэнузы трэба ўзвесці па чарзе ў квадрат кожную з велічынь катэт. Затым скласці Павучанне лічбы і з выніку атрымаць квадратны корань.

Разгледзім прыклад: Дан трохкутнік з прамым вуглом. Адзін катэт роўны 3 см, іншы 4см. Знайсці гіпатэнузу. Рашэнне выглядае наступным чынам.

FB2 = BK2 + KF2 = (3см) 2+ (4см) 2 = 9см2 + 16см2 = 25 см2. Здабываем квадратны корань і атрымліваем FB = 5см.

• Вядомы катэт (BK) і кут, прылеглы да яго, які утвараецца гіпатэнузай і гэтым катэты. Як знайсці гіпатэнузу трыкутніка? Абазначым вядомы кут α. Згодна ўласцівасці прастакутнага трыкутніка, якое абвяшчае, што стаўленне даўжыні катэта да даўжыні гіпатэнузы раўняецца косінус кута паміж гэтым катэты і гіпатэнузай. Разглядаючы трохкутнік гэта можна запісаць так: FB = BK * cos (α).
• Вядомы катэт (KF) і той жа кут α, толькі цяпер ён ужо будзе процілеглых. Як знайсці гіпатэнузу ў гэтым выпадку? Звернемся ўсё да тых жа уласцівасцях прастакутнага трыкутніка і даведаемся, што стаўленне даўжыні катэта да даўжыні гіпатэнузы раўняецца сінус што насупраць катэты кута. Гэта значыць FB = KF * sin (α).

Разгледзім на прыкладзе. Дадзены усё той жа прастакутны трыкутнік BKF з гіпатэнузай FB. Хай кут F роўны 30 градусам, другі кут B адпавядае 60 градусам. Яшчэ вядомы катэт BK, даўжыня якога адпавядае 8 см. Вылічыць шуканую велічыню можна так:

FB = BK / cos60 = 8 см.
FB = BK / sin30 = 8 см.

• Вядомы радыус акружнасці (R), апісанай каля трохвугольніка з прамым вуглом. Як знайсці гіпатэнузу пры разглядзе такой задачы? З ўласцівасці акружнасці, апісанай вакол трохвугольніка з прамым вуглом вядома, што цэнтр такой акружнасці супадае з пунктам гіпатэнузы, якая падзяляе яе напалову. Простымі словамі - радыус адпавядае палове гіпатэнузы. Адсюль гіпатэнуза роўная двум радыусах. FB = 2 * R. Калі ж дадзена аналагічная задача, у якой вядомы не радыус, а медыяна, то варта звярнуць увагу на ўласцівасць акружнасці, апісанай вакол трохвугольніка з прамым вуглом, якое кажа, што радыус роўны медыяну, праведзенай да гіпатэнузы. Выкарыстоўваючы ўсе гэтыя ўласцівасці, задача вырашаецца такім жа спосабам.

Калі стаіць пытанне, як знайсці гіпатэнузу роўнабаковага прастакутнага трыкутніка, то неабходна звернецца ўсё да той жа тэарэме Піфагора. Але, у першую чаргу ўспомнім, што роўнабаковага трыкутніка, з'яўляецца трохкутнік, які мае дзве аднолькавыя боку. У выпадку з прастакутным трохвугольнікам аднолькавымі бакамі з'яўляюцца катэты. Маем FB2 = BK2 + KF2, але, так як BK = KF маем наступнае: FB2 = 2 BK2, FB = BK√2

Як бачыце, ведаючы тэарэму Піфагора і ўласцівасці прастакутнага трыкутніка, вырашыць задачы, пры якіх неабходна вылічыць даўжыню гіпатэнузы, вельмі проста. Калі ж усе ўласцівасці запомніць складана, вывучыце гатовыя формулы, падставіўшы ў якія вядомыя значэння можна будзе разлічыць шуканую даўжыню гіпатэнузы.