Бісектрыса трыкутніка і яе ўласцівасці

Сярод шматлікіх прадметаў сярэднеадукацыйных школы ёсць такі, як «геаметрыя». Традыцыйна лічыцца, што родапачынальнікамі гэтай сістэматычнай навукі з'яўляюцца грэкі. На сённяшні дзень грэцкую геаметрыю называюць элементарнай, бо менавіта яна пачала вывучэнне найпростых формаў: плоскасцяў, прамых, правільных шматкутнікаў і трыкутнікаў. На апошніх мы і спынім сваю ўвагу, а дакладней на раўнасечнай гэтай фігуры. Для тых, хто ўжо прызабыў, бісектрыса трыкутніка ўяўляе сабой адрэзак бісектрысы аднаго з кутоў трыкутніка, які дзеліць яго напалову і злучае вяршыню з кропкай, размешчанай на процілеглага боку.

Бісектрыса трыкутніка мае шэраг уласцівасцяў, якія неабходна ведаць пры вырашэнні тых ці іншых задач:

• Бісектрыса вугла ўяўляе сабой геаметрычнае месца кропак, аддаленых на роўных адлегласцях ад прылеглых да кута бакоў.
• Бісектрыса ў трыкутніку дзеліць процілеглы ад кута бок на адрэзкі, якія прапарцыйныя прылеглых баках. Напрыклад, дадзены трохкутнік MKB, дзе з кута K выходзіць бісектрыса, якая злучае вяршыню гэтага кута з кропкай A на процілеглага боку MB. Прааналізаваўшы дадзенае ўласцівасць і наш трохкутнік, маем MA / AB = MK / KB.
• Кропка, у якой перасякаюцца бісектрысы ўсіх трох кутоў трыкутніка, з'яўляецца цэнтрам акружнасці, якая ўпісана ў гэты ж трохкутнік.
• Падстава медыян аднаго знешняга і двух ўнутраных кутоў знаходзяцца на адной прамой, пры ўмове, што бісектрыса вонкавага кута не з'яўляецца паралельнай супрацьлеглым баку трыкутніка.
• Калі дзве бісектрысы аднаго трыкутніка роўныя, то гэты трохкутнік роўнабаковы.

Неабходна адзначыць, што калі зададзены тры бісектрысы, то пабудова трыкутніка па іх, нават з дапамогай цыркуля, немагчыма.

Вельмі часта пры вырашэнні задач бісектрыса трыкутніка невядомая, а неабходна вызначыць яе даўжыню. Для вырашэння такой задачы неабходна ведаць кут, які дзеліцца Бісектрысай напалову, і прылеглыя да гэтага кута боку. У гэтым выпадку шуканая даўжыня вызначаецца як стаўленне падвоенага творы прылеглых да кута бакоў і косінуса кута дзеленага напалову да сумы прылеглых да кута бакоў. Напрыклад, дадзены усё той жа трохкутнік MKB. Бісектрыса выходзіць з кута K і перасякае процілеглы бок МВ ў кропцы А. Кут, з якога выходзіць бісектрыса, пазначым y. Цяпер запішам усё тое, што сказана словамі ў выглядзе формулы: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

Калі велічыня кута, з якога выходзіць бісектрыса трыкутніка, невядомая, але вядомыя ўсе яго боку, то для вылічэнні даўжыні бісектрысы мы скарыстаемся дадатковай зменнай, якую назавем полупериметр і пазначым літарай P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). Пасля гэтага занясем некаторыя змены ў папярэднюю формулу, па якой вызначалася даўжыня бісектрысы, а менавіта, у лічнік дробу ставім падвоены корань квадратны з твора даўжынь бакоў, прылеглых да кута, на полупериметр і прыватнае, дзе з полупериметра адымаецца даўжыня трэцяга боку. Назоўнік пакінем без змены. У выглядзе формулы гэта будзе выглядаць так: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Бісектрыса ў прамавугольным трохвугольніку мае ўсе тыя ж ўласцівасці, што і ў звычайным, Але, акрамя ўжо вядомых, ёсць і новае: бісектрысы вострых кутоў прастакутнага трыкутніка пры перасячэнні ўтвараюць кут 45 градусаў. Пры неабходнасці гэта нескладана даказаць, выкарыстоўваючы ўласцівасці трыкутніка і сумежных кутоў.

Бісектрыса роўнабаковага трыкутніка разам з агульнымі ўласцівасцямі мае і некалькі сваіх. Успомнім, што гэта за трохкутнік. У такога трыкутніка два бакі роўныя, і роўныя прылеглыя да падставы куты. Адсюль вынікае, што бісектрысы, якія апускаюцца на бакавіцы роўнабаковага трыкутніка, роўныя паміж сабой. Акрамя таго, бісектрыса, апушчаная на падставу, адначасова з'яўляецца і вышынёю, і медыянай.