Нармальны закон размеркавання, або Размеркаванне Гаўса

Сярод усіх законаў у тэорыі верагоднасцяў нармальны закон размеркавання сустракаецца часцей за ўсё, у тым ліку часцей, чым раўнамерны. Магчыма, такая з'ява мае глыбокую фундаментальную прыроду. Бо гэты выгляд размеркавання назіраецца і тады, калі ў прадстаўленні дыяпазону выпадковых велічынь ўдзельнічаюць некалькі фактараў, кожны з якіх ўплывае па-свойму. Нармальнае (або гауссово) размеркаванне ў такім выпадку атрымліваецца з прычыны складання розных размеркаванняў. Менавіта дзякуючы шырокаму распаўсюджванню нармальны закон размеркавання і атрымаў сваю назву.

Кожны раз, калі мы гаворым пра якую-небудзь сярэдняй велічыні, няхай гэта будзе месячная норма ападкаў, даход на душу насельніцтва ці паспяховасць у класе, пры вылічэнні яе значэння, як правіла, выкарыстоўваецца нармальны закон размеркавання. Гэта сярэдняе значэнне называецца матэматычным чаканнем і на графіцы адпавядае максімуму (звычайна пазначаецца як M). Пры правільным размеркаванні крывая сіметрычна адносна максімуму, аднак у рэальнасці так бывае не заўсёды, і гэта дапушчальна.

Каб апісаць нармальны закон размеркавання выпадковай велічыні, таксама неабходна ведаць сярэднеквадратовае адхіленне (пазначаецца σ - сігма). Яно задае форму крывой на графіцы. Чым больш σ, тым больш спадзістай будзе крывая. З іншага боку, чым менш σ, тым дакладней вызначаецца сярэдняе значэнне велічыні ў выбарцы. Таму пры вялікіх сярэднеквадратовае адхіленнях даводзіцца казаць, што сярэдняе значэнне ляжыць у вызначаным дыяпазоне лікаў, а не адпавядае якому-небудзь ліку.

Як і іншыя законы статыстыкі, нармальны закон размеркавання верагоднасцяў праяўляе сябе тым лепш, чым больш выбарка, г.зн. колькасць аб'ектаў, якія ўдзельнічаюць у вымярэннях. Аднак тут праяўляецца яшчэ адзін эфект: пры вялікай выбарцы становіцца вельмі малой верагоднасць сустрэць пэўнае значэнне велічыні, у тым ліку сярэдняе. Значэння толькі групуюцца каля сярэдняга. Таму правільней казаць, што выпадковая велічыня будзе блізкая вызначанаму значэнню з такой-то доляй верагоднасці.

Вызначыць, наколькі вялікая верагоднасць, і дапамагае сярэднеквадратовае адхіленне. У інтэрвал «тры Сігма», г.зн. M +/- 3 * σ, укладваецца 97,3% усіх велічынь у выбарцы, а ў інтэрвал «пяць сігма» - каля 99%. Гэтыя інтэрвалы звычайна выкарыстоўваюцца для таго, каб вызначыць, калі гэта трэба, максімальнае і мінімальна значэнне велічынь у выбарцы. Верагоднасць таго, што значэнне велічыні выйдзе з інтэрвалу пяці сігма, нікчэмна малая. На практыцы звычайна карыстаюцца інтэрвалам трох сігма.

Нармальны закон размеркавання можа быць шматмерным. Пры гэтым прымаецца, што нейкі аб'ект валодае некалькімі незалежнымі параметрамі, выяўленымі ў адной адзінцы вымярэння. Напрыклад, адхіленне кулі ад цэнтра мішэні па вертыкалі і па гарызанталі пры стральбе будзе апісвацца двухмерных нармальным размеркаваннем. Графік такога размеркавання ў ідэальным выпадку падобны на постаць кручэння плоскай крывой (гауссианы), пра якую гаварылася вышэй.