Тэарэма сінуса. рашэнне трыкутнікаў

Пры вывучэнні трыкутнікаў міжволі паўстае пытанне аб вылічэнні залежнасці паміж іх бакамі і кутамі. У геаметрыі тэарэма косінус і сінусам дае найбольш поўны адказ для вырашэння гэтай праблемы. У багацці розных матэматычных выразаў і формул, законаў, тэарэм і правілаў сустракаюцца такія, што адрозніваюцца незвычайнай гарманічнасцю, лаканічнасцю і прастатой падачы зняволенага ў іх сэнсу. Тэарэма сінуса з'яўляецца яркім прыкладам падобнай матэматычнай фармулёўкі. Калі ў славеснай трактоўцы яшчэ і ўзнікае пэўны перашкода ў асэнсаванні дадзенага матэматычнага правілы, то пры поглядзе на матэматычную формулу ўсё адразу становіцца на свае месцы.

Першыя звесткі пра дадзеную тэарэме былі выяўленыя ў выглядзе доказы яе ў рамках матэматычнага працы Насір пекла-Дын Ат-Туси, датаванага трынаццатым стагоддзем.

Набліжаючыся бліжэй да разгляду суадносін бакоў і кутоў у любым трыкутніку, варта адзначыць, што тэарэма сінусам дазваляе вырашаць масу матэматычных задач, пры гэтым дадзены закон геаметрыі знаходзіць сабе прымяненне ў розных відах практычнай дзейнасці чалавека.

Сама тэарэма сінусам абвяшчае, што для любога трыкутніка характэрная прапарцыянальнасць бакоў да сінуса процілеглых кутоў. Таксама маецца і другая частка гэтай тэарэмы, згодна з якой стаўленне любога боку трыкутніка да сінуса супрацьлеглага кута роўна дыяметры акружнасці, апісанай каля разгляданага трыкутніка.

У выглядзе формулы гэты выраз выглядае, як

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Мае тэарэма сінусам доказ, якое ў розных варыянтах падручнікаў прапануецца ў багатым разнастайнасці версій.

Для прыкладу разгледзім адно з доказаў, якія даюць тлумачэнне першай частцы тэарэмы. Для гэтага задамося мэтай даказаць вернасць выразы a sinC = c sinA.

У адвольным трыкутніку ABC пабудуем вышыню BH. У адным з варыянтаў пабудовы H будзе ляжаць на адрэзку AC, а ў іншым за яго межамі, у залежнасці ад велічыні вуглоў пры вяршынях трыкутнікаў. У першым выпадку вышыню можна выказаць праз куты і бакі трыкутніка, як BH = a sinC і BH = c sinA, што і з'яўляецца патрабаваным доказам.

У выпадку, калі кропка H апынецца за межамі адрэзка AC, можам атрымаць наступныя варыянты рашэнняў:

ВН = a sinC і ВН = c sin (180-A) = c sinA;

альбо ВН = a sin (180-C) = а sinC і ВН = c sinA.

Як бачым, у незалежнасці ад варыянтаў пабудовы, мы прыходзім да жаданага выніку.

Доказ другой частцы тэарэмы запатрабуе ад нас апісаць вакол трыкутніка акружнасць. Праз адну з вышынь трыкутніка, да прыкладу B, пабудуем дыяметр круга. Атрыманую кропку на акружнасці D злучым з адной з вышынёй трохвугольніка, хай гэта будзе кропка A трыкутніка.

Калі разгледзець атрыманыя трыкутнікі ABD і ABC, то можна заўважыць роўнасць кутоў C і D (яны абапіраюцца на адну дугу). А ўлічваючы, што кут А роўны дзевяноста градусаў то sin D = c / 2R, ці ж sin C = c / 2R, што і патрабавалася даказаць.

Тэарэма сінуса з'яўляецца адпраўной кропкай для рашэння шырокага спектру розных задач. Асаблівая прывабнасць заключаецца ў практычным яе ўжыванні, як следства з тэарэмы мы атрымліваем магчымасць звязаць паміж сабой велічыні бакоў трохвугольніка, процілеглых кутоў і радыусу (дыяметра) апісанай вакол трохвугольніка акружнасці. Прастата і даступнасць формулы, якая апісвае дадзенае матэматычнае выраз, дазвалялі шырока выкарыстоўваць гэтую тэарэму для вырашэння задач пры дапамозе розных механічных падліковых прыстасаванняў (лагарыфмічныя лінейкі, табліцы і інш.), Але нават прыход на службу чалавека магутных вылічальных прылад не знізіў актуальнасць дадзенай тэарэмы.

Гэтая тэарэма не толькі ўваходзіць у абавязковы курс геаметрыі сярэдняй школы, але і ў далейшым ўжываецца ў некаторых галінах практычнай дзейнасці.