Што такое лагарыфм?

Сярэднія вякі вядомыя як часы падарожжаў і геаграфічных адкрыццяў. Адзіным спосабам рэалізацыі далёкіх падарожжаў было мараплаўства, што заўсёды звязана з выкананнем вялікіх аб'ёмаў навігацыйных вылічэнняў. Цяпер цяжка ўявіць працэс знясільваючых разлікаў пры памнажэньні-дзяленні пяці-шасцізначная лікаў «ўручную». Джон Непер, багаслоў па родзе сваёй асноўнай дзейнасці, займаючыся на вольным часе трыганаметрычнымі разлікамі, здагадаўся замяніць працаёмкую працэдуру множання простым складам цела. Ён сам казаў, што яго мэтай было «вызваліцца ад цяжкасці і нуды вылічэнняў, якія адпужваюць шматлікіх ад вывучэння матэматыкі». Намаганні ўвянчаліся поспехам - быў створаны матэматычны апарат, названы сістэмай лагарыфмаў.

Такім чынам, што такое лагарыфм? Асновай лагарыфмічных вылічэнняў з'яўляецца іншае ўяўленне лікі: замест звычайнай пазіцыйнай сістэмы, як мы прывыклі, лік A прадстаўляецца ў выглядзе сталага выказвання, дзе нейкае адвольнае лік N, званае падставай ступені, узводзіцца ў такую ступень n, што ў выніку атрымліваецца лік A. Такім чынам , n - гэта лагарыфм ліку А па падставе N. Выбар падставы лагарыфмаў вызначае назву сістэмы. Для простых вичислений ўжываецца дзесятковая сістэма лагарыфмаў, а ў навуцы і тэхніцы шырока выкарыстоўваецца сістэма натуральных лагарыфмаў, дзе падставай служыць іррацыянальнае лік е = 2,718. Выраз, якое вызначае лагарыфм ліку А, на мове матэматыкі запісваецца так:

n = log (N) A, дзе N - аснова ступені.

Дзесятковы і натуральны лагарыфмы маюць сваё спецыфічнае скарочанае напісанне - lgA і lnA, адпаведна.

У сістэме разлікаў, якая выкарыстоўвае вылічэнне лагарыфмаў, асноўным элементам з'яўляецца пераўтварэнне колькасці да ступені ўвазе з дапамогай табліцы лагарыфмаў па некаторым падставы, напрыклад 10. Гэтая маніпуляцыя не ўяўляе ніякіх складанасцяў. Далей выкарыстоўваецца ўласцівасць ступенных лікаў, якое складаецца ў тым, што пры памнажэньні іх ступені складаюцца. Практычна гэта азначае, што множанне лікаў з лагарыфмічнай прадстаўленнем, замяняецца складаннем іх ступеняў. Таму, пытанне "што такое лагарыфм», калі яго працягнуць да «а навошта ён нам патрэбны», мае просты адказ - каб спрасціць працэдуру множання-дзялення многоразрядных лікаў - бо складанне «у слупок» значна прасцей множання «у слупок". Хто не верыць - хай паспрабуе скласці і памножыць два восьмиразрядных колькасці.

Першыя табліцы лагарыфмаў (па падставе з натуральным лікам) апублікаваў у 1614 году Джон Непер, а цалкам пазбаўлены памылак варыянт, які ўключае і табліцы дзесятковых лагарыфмаў, з'явіўся ў 1857 годзе і вядомы як табліцы Бремикера. Выкарыстанне лагарыфмаў з падставай ў выглядзе ірацыянальнага колькасці абумоўлена тым, што колькасць е даволі проста атрымаць праз шэраг Тэйлара, які мае шырокае прымяненне ў інтэгральным і дыферэнцыяльным вылічэнні.

Сутнасць гэтай вылічальнай сістэмы ўтрымліваецца ў адказе на пытанне "што такое лагарыфм» і выцякае з асноўнага лагарыфмічнай тоеснасці: N (падстава лагарыфма) узведзены ў ступень n, роўную лагарыфму колькасці А (logA), роўна гэтага ліку A. Пры гэтым А> 0, г.зн. лагарыфм вызначаецца толькі для станоўчых лікаў, а падстава лагарыфма заўсёды больш 0 і ня роўнае 1. Зыходзячы са сказанага, ўласцівасці натуральнага лагарыфма можна сфармуляваць наступным чынам:

1. Абсяг вызначэння натуральнага лагарыфма - уся лікавая вось ад 0 да бясконцасці.
2. ln x = 0 - следства вядомага суадносін - любы лік у нулявы ступені роўна 1.
3. ln (X * Y) = ln X + lnY - найбольш важнае для вылічальных маніпуляцый ўласцівасць - лагарыфм творы двух лікаў плячэй суме лагарыфмаў кожнага з іх.
4. ln (X / Y) = ln X - lnY - лагарыфм прыватнага двух лікаў роўны рознасці лагарыфмаў гэтых лікаў.
5. ln (X) n = n * ln X.
6. Натуральны лагарыфм ўяўляе сабой дыферэнцыруемых, выпуклую ўверх функцыю, прычым ln 'X = 1 / X
7. log (N) A = K * ln A - лагарыфм па любым станоўчага і выдатнаму ад колькасці е падставы адрозніваецца ад натуральнага толькі каэфіцыентам.

Цяпер кожны школьнік ведае, што такое лагарыфм, але дзякуючы прагрэсу ў галіне прыкладной вылічальнай тэхнікі праблемы вылічальных работ сышлі ў мінулае. Тым не менш, лагарыфмы, ужо як матэматычны інструмент, выкарыстоўваюцца пры рашэнні раўнанняў з невядомымі ў паказчыку ступені, у выразах для знаходжання часу распаду радыеактыўных элементаў і ў іншых галінах матэматыкі, фізікі, статыстыкі.