Плошчу роўнабаковага трыкутніка

Сярод геаметрычных фігур, якія разглядаюцца ў раздзеле геаметрыя, найбольш часта даводзіцца сутыкацца пры вырашэнні тых ці іншых задач з трохвугольнікам. Ён уяўляе сабой геаметрычную фігуру, адукаваную трыма прамымі. Яны ў адной кропцы не перасякаюцца і не з'яўляюцца паралельнымі. Можна даць іншае вызначэнне: трохкутнік ўяўляе сабой ламаную замкнёную лінію, якая складаецца з трох звёнаў, дзе яе пачатак і канец злучаюцца ў адной кропцы. Калі ўсе тры бакі маюць роўную велічыню, то гэта правільны трохкутнік, або, як кажуць, роўнабаковага.

Як жа вызначыць плошчу роўнабаковага трыкутніка? Для вырашэння падобных задач неабходна ведаць некаторыя ўласцівасці гэтай геаметрычнай фігуры. Па-першае, у дадзенага выгляду трыкутніка ўсе куты роўныя. Па-другое, вышыня, якая апускаецца з вяршыні на падставу, з'яўляецца адначасова і медыянай, і вышынёй. Гэта сведчыць аб тым, што вышыня дзеліць вяршыню трохвугольніка на два роўных кута, а процілеглы бок - на два роўных адрэзка. Бо роўнабаковага трыкутніка складаецца з двух прамавугольных трохвугольнікаў, то пры вызначэнні шуканай велічыні неабходна выкарыстоўваць тэарэму Піфагора.

Разлік плошчы трохвугольніка можна вырабіць рознымі спосабамі, у залежнасці ад вядомых велічынь.

1. Разгледзім роўнабаковага трыкутніка з вядомымі бокам b і вышынёй h. Плошчу трохвугольніка ў гэтым выпадку будзе роўная адной другі творы боку і вышыні. У выглядзе формулы гэта будзе выглядаць так:

S = 1/2 * h * b

Кажучы словамі, плошча роўнабаковага трыкутніка роўная адной другі творы яго боку і вышыні.

2. Калі вядомая толькі велічыня боку, то перш, чым шукаць плошчу, неабходна вылічыць яго вышыню. Для гэтага разгледзім палову трыкутніка, у якім вышыня будзе адным з катэт, гіпатэнуза - гэты бок трыкутніка, а другі катэт - палова боку трохвугольніка згодна яго уласцівасцях. Усё з той жа тэарэмы Піфагора вызначым вышыню трыкутніка. Як з яе вядома, квадрат гіпатэнузы адпавядае суме квадратаў катэт. Калі разглядаць палову трыкутніка, то ў дадзеным выпадку бок з'яўляецца гіпатэнузай, палова боку - адным катэты, а вышыня - другім.

(B / 2) ² + h2 = b², адсюль

h² = b²- (b / 2) ². Прывядзём да агульнага назоўніка:

h² = 3b² / 4,

h = √3b² / 4,

h = b / 2√3.

Як бачым, вышыня разгляданай фігуры роўная твору паловы яго боку і кораня з трох.

Падставім у формулу і ўбачым: S = 1/2 * b * b / 2√3 = b² / 4√3.

Гэта значыць, плошча роўнабаковага трыкутніка роўная твору чацвёртай часткі квадрата боку і кораня з трох.

3. Ёсць і такія задачы, дзе неабходна вызначыць плошчу роўнабаковага трыкутніка пры вядомай вышыні. І гэта аказваецца прасцей простага. Мы ўжо вывелі ў папярэднім выпадку, што h² = 3 b² / 4. Далей неабходна адсюль вывесці бок і падставіць у формулу плошчы. Выглядаць гэта будзе так:

b² = 4/3 * h², адсюль b = 2h / √3. Падставіўшы ў формулу, па якой знаходзіцца плошча, атрымаем:

S = 1/2 * h * 2h / √3, адсюль S = h² / √3.

Маюць месца задачы, калі неабходна знайсці плошчу роўнабаковага трыкутніка па радыусе упісанай або апісанай акружнасці. Для гэтага разліку таксама існуюць пэўныя формулы, якія выглядаюць наступным чынам: r = √3 * b / 6, R = √3 * b / 3.

Дзейнічаем ўжо па знаёмым нам прынцыпе. Пры вядомым радыусе, выводзім з формулы бок і вылічаем яе, падставіўшы вядомую велічыню радыусу. Атрыманае значэнне падстаўляем ва ўжо вядомую формулу для разліку плошчы правільнага трохвугольніка, праводзім арыфметычныя вылічэнні і знаходзім шуканую велічыню.

Як бачым, для таго, каб вырашыць аналагічныя задачы, неабходна ведаць не толькі ўласцівасці правільнага трохвугольніка, а і тэарэму Піфагора, і радыус апісанай і упісанай акружнасці. Для якія валодаюць гэтымі ведамі рашэнне падобных задач не будзе прадстаўляць адмысловай працы.