Ўласцівасці ступені

Узвядзенне колькасці ў натуральную ступень азначае яго непасрэднае паўтарэнне уласным сомножителем ў натуральны лік раз. Лік, паўтаральнае ў якасці сомножителя - гэта аснова ступені, а лік, якое паказвае на колькасць аднолькавых множнікаў, называюць паказчыкам ступені. Атрыманы вынік выкананых дзеянняў і ёсць ступень. Напрыклад, тры ў шостай ступені азначае паўтор колькасці тры ў выглядзе множніка шэсць разоў.

Падставай ступені можа выступаць любы лік, выдатнае ад нуля.

Другая і трэцяя ступені ліку маюць спецыяльныя назвы. Гэта, адпаведна, квадрат і куб.

За першую ступень ліку прымаюць само ж гэты лік.

Для станоўчых лікаў таксама вызначана ступень, якая мае рацыянальны паказчык. Як усім вядома, любое рацыянальнае лік запісваецца ў выглядзе дробу, лічнік якой з'яўляецца цэлым, назоўнік ж - натуральным, гэта значыць цэлым станоўчым, выдатным ад адзінкі.

Ступень з рацыянальным паказчыкам ўяўляе з сябе корань ступені, роўнай назоўніка паказчыка ступені, а падка- рэнны выраз - гэта аснова ступені, узведзены ў ступень, роўную лічніку. Напрыклад: тры ў 4/5 роўна пні пятай ступені з трох у чацвёртай.

Адзначым некаторыя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з разгляданага азначэнні:

• любое станоўчае лік у рацыянальнай ступені - станоўча;

• значэнне ступені з рацыянальным паказчыкам не залежыць ад формы яго запісу;

• калі падстава адмоўнае, то рацыянальная ступень гэтага ліку не вызначана.

Пры станоўчым падставе ўласцівасці ступені верныя незалежна ад паказчыка.

Ўласцівасці ступені з натуральным паказчыкам:

1. Памнажаючы ступені, якія маюць аднолькавыя падставы, падстава пакідаюць без змены і складаюць паказчыкі. Напрыклад: пры памнажэньні трох у пятай ступені на тры ў сёмы атрымліваюць тры ў дванаццатай ступені (5 + 7 = 12).

2. Пры дзяленні ступеняў, якія маюць аднолькавыя падставы, іх пакідаюць без змены, а паказчыкі вычытваюць. Напрыклад: пры дзяленні трох у восьмы на тры ў пятай ступені атрымліваюць тры ў квадраце (8-5 = 3).

3. Калі ступень ўзводзяць у ступень, падстава пакідаюць без змены, а паказчыкі перамнажаюцца. Напрыклад: пры ўзвядзенні 3 у пятай у сёмую атрымліваюць 3 у трыццаць пятай (5х7 = 35).

4. Каб узвесці твор у ступень, у тую ж ўзводзіцца кожны з множнікаў. Напрыклад: пры ўзвядзенні творы 2х3 у пятую атрымліваюць твор два ў пятай на тры ў пятай.

5. Каб узвесці дроб у ступень, у тую ж ступень ўзводзяць лічнік і назоўнік. Напрыклад: пры ўзвядзенні 2/5 ў пятую атрымліваюць дроб, у лічніку якой - два ў пятай, у назоўніку - пяць у пятай.

Адзначаныя ўласцівасці ступені справядлівыя і для дробавых паказчыкаў.

Ўласцівасці ступені з рацыянальным паказчыкам

Ўвядзем некаторыя вызначэння. Любое адрознае ад 0 сапраўдны лік, збудаванае ў нулявую, роўна адзінцы.

Любое адрознае ад 0 сапраўдны лік, збудаванае ў ступень з адмоўным цэлым паказчыкам - гэта дроб з лічнік адзінка і назоўнікам, роўным ступені той самай даты, але які мае супрацьлеглы паказчык.

Дапоўнім ўласцівасці ступені некалькімі новымі, якія тычацца рацыянальных паказчыкаў.

Ступень з рацыянальным паказчыкам не мяняецца пры памнажэньні або дзяленні лічнік і назоўнік яго паказчыка на няроўнае нуля адно і тое ж лік.

Пры падставе больш адзінкі:

• калі паказчык станоўчы, то ступень больш 1;
• пры адмоўным - менш адзінкі.

Пры падставе менш адзінкі, наадварот:

• калі паказчык станоўчы, то ступень менш адзінкі;
• пры адмоўным - больш за 1.

Калі паказчык ступені расце, то:

• расце сама ступень, калі падстава больш адзінкі;

• меншае, калі падстава менш адзінкі.