Як знайсці бок трыкутніка. Пачынаем з простага

Трохкутнік - гэта геаметрычная фігура, якая складаецца з трох кропак, у сваю чаргу яны завуцца вяршынямі, пры гэтым злучаныя яны паміж сабой паслядоўна адрэзкамі. Такія адрэзкі і называюцца бакамі трыкутніка. Існуе некалькі відаў трыкутнікаў, а менавіта:

1. Па велічыні кутоў:

- тупоугольный (калі адзін з кутоў мае градусную меру вышэй дзевяноста градусаў);

- прастакутны (калі адзін з кутоў мае дзевяноста градусаў);

- остроугольная (калі ўсе куты маюць градусную меру менш, чым дзевяноста градусаў).

2. Па колькасці роўных бакоў:

- рознабаковы (усе боку адрозніваюцца па велічыні);

- роўнабаковы (два бакі роўныя паміж сабой);

- роўнабаковага (усе бакі маюць аднолькавую даўжыню).

Каштаваць адзначыць той факт, што сума градусных мер кутоў у трыкутніку заўсёды роўная 180 градусам, не залежна ад тыпу самай фігуры. Такім чынам, у роўнабаковага трыкутніка куты, якія ляжаць у аснове, заўсёды роўныя. А ў роўнабаковага трыкутніка кожны кут мае роўна шэсцьдзесят градусаў. У прамавугольным трохвугольніку для пошуку кута досыць адняць ад дзевяноста градусаў вядомы кут. Тады будуць вядомыя ўсе градусныя меры.

Веданне градуснай меры вугла заўсёды дасць адказ на пытанне, як знайсці бок трыкутніка. Разгледзім усе на прыкладах прастакутнага трыкутніка, так як ён з'яўляецца больш універсальным. Да таго ж роўнабаковага і роўнабаковы трыкутнікі можна лёгка прадставіць у выглядзе двух прамавугольных, але пра гэта крыху пазней.

Самай градуснай меры не дастаткова. Яна патрэбна толькі для таго, каб можна было вылічыць трыганаметрычныя суадносін, а менавіта:

Sin - стаўленне прылеглага катэта да гіпатэнузы, Cos - стаўленне супрацьлеглага катэта да гіпатэнузы, Tg - стаўленне прылеглага катэта да процілеглага, Ctg - стаўленне супрацьлеглага катэта да прылеглым.

Такім чынам, як знайсці бок прастакутнага трыкутніка? Ведаючы суадносін, можна скарыстацца тэарэмай сінусаў, якая абвяшчае наступнае: адзін бок ставіцца да сінус кута гэтак жа, як і іншы бок ставіцца да сінус іншага кута, і трэці бок мае такія ж суадносіны боку і сінуса кута, як і дзве папярэдняе.

Як відаць з тэарэмы, аднаго веды сінусам не дастаткова. Трэба ведаць меру даўжыні яшчэ хаця б аднаго боку. Тады тое, як знайсці бок трыкутніка, ужо не выкліча вялікіх складанасцяў. Ці ж магчымы іншы варыянт. Каб знайсці адзін з катэт трыкутніка, неабходна гіпатэнузу памножыць альбо на сінус прылеглага кута, альбо на косінус супрацьлеглага. Значэнне боку пры гэтым не зменіцца.

Акрамя таго, можна выкарыстоўваць вядомую ўсім тэарэму Піфагора, якая ў сваю чаргу абвяшчае: квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэт. Тут, ведаючы дзве меры бакоў, можна лёгка вызначыць значэнне трэцяй.

Існуе яшчэ адна тэарэма аб тым, як знайсці бок трыкутніка. Тэарэма косінус: мера даўжыні боку роўная квадратнага пні з сумы квадратаў двух іншых бакоў без падвойнага творы гэтых бакоў, якія ў сваю чаргу множацца на косінус кута паміж імі.

А як знайсці бок роўнабаковага трыкутніка? Тут маюць права на існаванне ўсе тыя ж прынцыпы і тэарэмы, што і для прастакутнага, але ёсць некалькі нюансаў.

Для пачатку трэба апусціць вышыню на аснову трохвугольніка. Такім чынам, мы атрымаем два аднолькавых прамавугольных трохвугольніка, да якіх і будзем прымяняць раней вывучаныя магчымасці. Як знайсці бок трыкутніка? Мы атрымаем і гіпатэнузу, і два катэта. Калі мы знайшлі гіпатэнузу, тады нам вядома ўжо два бакі трыкутніка. Калі ж мы знайшлі катэт, які не з'яўляецца вышынёй, тады пры памнажэньні яго на два, мы атрымаем значэнне трэцяга боку.

Нярэдка бываюць задачы, калі ні адна з бакоў не зададзена. У такім выпадку варта ўвесці нейкую невядомую Х, і працягваць пошукі усіх бакоў, не звяртаючы ўвагі на замену такога роду.